Foto: © Oleksiy Mark / Dollar Photo Club
Foto: © Oleksiy Mark / Dollar Photo Club

Poincarého domněnka a úvod do topologie

Poincaré a další matematici se pustili do klasifikace vícerozměrných analogií dvojrozměrných povrchů. Nazvali je „variety“.

Padesáté narozeniny oslavil Grigorij Perelman, podivínský matematik, který dokázal Poincarého domněnku, pokládanou za 1 ze 7 největších matematických problémů pro 21. století. Při této příležitosti přinášíme úvod popisující, co je Poincarého domněnka (dnes už vlastně věta) zač a kde se vzala.

Povrch, na kterém se pouhým posunováním obrázků nemůže levá ruka změnit v pravou a pohyb po směru ručiček v pohyb opačný, se nazývá orientovatelný. Například sféra nebo rovina jsou orientovatelné, a stejně tak jsou orientovatelné pneumatika i dvojitá pneumatika. Povrchy jako Kleinova láhev nebo Möbiova páska, kde jsou takové proměny možné, se nazývají neorientovatelnými. Orientovatelnost (i její opak) je topologický invariant.

Nutkání klasifikovat

Jedním z raných úspěchů topologie byl důkaz, že k rozlišení jakýchkoli dvou uzavřených povrchů stačí pouhé dva topologické invarianty, jako jsou například Eulerova charakteristika a orientovatelnost. To znamená, že jakmile mají dva povrchy stejnou Eulerovu charakteristiku a jsou oba orientovatelné nebo oba neorientovatelné, pak již musí být stejné, a to i kdybychom za žádnou cenu nebyli schopni najít spojitou deformaci převádějící jeden na druhý. Tento výsledek se nazývá klasifikační větou povrchů, neboť praví, že všechny povrchy můžeme (topologicky) klasifikovat prostřednictvím pouhých dvou atributů.

Zhruba řečeno, klasifikační věta pro povrchy se dokazuje tak, že za základní povrch vezmeme sféru a budeme měřit, do jaké míry se od ní daný povrch bude lišit, tedy co bychom museli se sférou provádět, abychom ji na tento povrch přeměnili. To odpovídá naší běžné intuici, že sféra je nejjednodušší, nejzákladnější a, jak někteří tvrdí, také nejestetičtější dokonale uzavřenou plochou.

Měli bychom zdůraznit, že v tomto případě zacházejí operace nutné k přeměně sféry na nějaký jiný povrch za rámec normálních topologických operací, tedy spojité deformace. Vskutku, jestliže vystavíme sféru pouhému kroucení, ohýbání, nafukování nebo zmenšování, pak výsledkem bude stále sféra. Abychom mohli klasifikovat povrchy podle toho, jakým způsobem je můžeme dostat ze sféry, musíme kromě obvyklého kroucení, natahování a podobně povolit navíc také řezání a sešívání. Topologové nazývají tento proces „chirurgií“. Tento termín je přiléhavý, neboť typická chirurgická operace sestává z odříznutí jedné nebo dvou částí sféry a jejich pozdějším přišitím zpět.

Klasifikační věta nám říká, že každý orientovatelný povrch je topologicky ekvivalentní sféře s jistým počtem přišitých „uší“. Ucho vznikne tak, že do sféry vyřízneme dvě dírky a spojíme je trubičkou. Jakýkoli neorientovatelný povrch je ekvivalentní sféře s jistým počtem přišitých „kroskapů“. Kroskap vznikne tak, že vyřízneme díru do sféry a podél jejího okraje přišijeme Möbiovu pásku. Podobně jako v případě Kleinovy láhve ale platí, že v obyčejném trojrozměrném prostoru toto nelze provést, aniž by Möbiova páska procházela sama sebou; abychom to mohli udělat pořádně, potřebujeme čtyři dimenze.

Počátkem dvacátého století se Poincaré a další matematici pustili do klasifikace vícerozměrných analogií dvojrozměrných povrchů. Tyto analogie nazvali „varietami“. Nepřekvapí nás, že vyzkoušeli přístup obdobný tomu, který fungoval pro dvojrozměrné povrchy. Snažili se klasifikovat všechny trojrozměrné variety (označované zkráceně jako 3-variety) tak, že vzali trojrozměrnou analogii sféry (označené jako 3-sféra) jako základní měřítko toho, do jaké míry se nějaká 3-varieta liší od 3-sféry.

Tady ale musíme být opatrní. Běžný povrch, jakým je třeba sféra nebo pneumatika, je dvojrozměrným objektem. Těleso, jehož je tento povrch pláštěm, je pochopitelně trojrozměrné, ale samotný povrch je dvojrozměrný. Kromě roviny se každý dvojrozměrný povrch dá zkonstruovat pouze ve třech nebo více dimenzích. Speciálně tedy jakýkoli uzavřený povrch vyžaduje tři nebo více dimenzí. Tři rozměry jsou potřeba k sestrojení sféry a pneumatiky, čtyři rozměry potřebujeme na Kleinovu láhev. Přesto jsou sféra, pneumatika i Kleinova láhev dvojrozměrné objekty – tedy povrchy, které nemají žádnou tloušťku a teoreticky mohly být sestrojeny z placaté, dokonale pružné plachty.

Avšak právě tak jako můžeme sféru chápat coby dvojrozměrnou obdobu (v trojrozměrném prostoru) kružnice (což je jednorozměrný objekt – tedy křivka – ve dvojrozměrném prostoru), tak si také můžeme představit trojrozměrnou obdobu (ve čtyřrozměrném prostoru) sféry. Tedy, přesněji řečeno, představit si ji neumíme. Můžeme však sestavit rovnice, které ji popisují, a studovat ji matematicky. Vskutku, fyzikové takové předměty studují běžně a výsledky využívají k pochopení světa, ve kterém žijeme. Trojrozměrné obdoby povrchů (vyskytující se v prostorech o čtyřech a více dimenzích), tedy 3-variety, se občas nazývají hyperpovrchy, a trojrozměrná obdoba sféry se nazývá hypersférou.

Neexistuje žádný matematický důvod, proč bychom se měli zastavit u tří rozměrů. Můžeme sestavit rovnice určující variety ve třech, čtyřech, pěti, šesti, nebo libovolně mnoha rozměrech. Znovu upozorňujeme na to, že tyto úvahy nejsou pouhou jalovou spekulací. Matematická teorie hmoty, na které v současné době fyzikové pracují, vidí náš svět jako jedenáctirozměrný. Podle této teorie jsme schopni přímo vnímat jen tři z nich, zatímco ty ostatní se projevují ve formě rozličných fyzikálních jevů, jakými jsou například elektromagnetické záření nebo síly, které drží pohromadě atom.

Poincaré se pokusil klasifikovat variety ve třech a více dimenzích tak, že vzal „sféru“ příslušné dimenze za základní měřítko a pak se pustil do chirurgie. Přirozeným prvním krokem těchto snah bylo hledání jednoduché topologické vlastnosti, podle které by bylo možno usoudit, zda je daný (dvojrozměrný) povrch ekvivalentní sféře. (Nezapomínejme, že se zde zabýváme topologií. Dokonce i v jednoduchém případě obyčejných dvojrozměrných povrchů se může nějaký povrch jevit jako krajně komplikovaný, a přesto může být spojitě deformovatelný do tvaru sféry.)

V případě dvojrozměrných povrchů taková vlastnost existuje. Představme si, že vezmeme tužku a načrtneme na povrchu jednoduchou uzavřenou smyčku. Nyní si představme, že se smyčka smršťuje a zároveň posunuje podél povrchu. Existuje nějaká mez, kam až se smyčka může smrštit? Pochopitelně nikoli. Můžeme ji zmenšit tak, že bude k nerozeznání od bodu. Matematicky ji dokonce můžeme zmenšit tak, že se vskutku stane bodem.

To není nutně pravda, pokud načrtneme smyčku na pneumatiku. Na pneumatiku můžeme nakreslit takové smyčky, které se do bodu smrštit nedají. Žádnou smyčku, která příčně obtáčí prstenec pneumatiky, ani takovou, která vede po jeho obvodu, nelze donekonečna zmenšovat.

Je-li smyčka nakreslená na daném povrchu, pak její schopnost smrštit se do bodu je topologickou vlastností, která platí pouze pro sféru. To znamená, že každý povrch, na kterém je možno smrštit každou (slovo „každou“ je důležité) smyčku do bodu, aniž by přitom opustila povrch, je ekvivalentní sféře.

Platí to samé také pro trojrozměrnou hypersféru? Tak zní otázka, kterou si Poincaré položil počátkem dvacátého století a očekával rychlou kladnou odpověď, která se pak měla stát prvním krokem na cestě ke klasifikační větě pro trojrozměrné hyperpovrchy. Vyvinul systematickou metodu, zvanou homotopická teorie, která pomocí algebraických technik studuje, co se děje se smyčkami, jsou-li posouvány po povrchu variety a zároveň deformovány.

Vlastně to úplně takhle nebylo. Poincaré nejprve tiše předpokládal, že schopnost smyček smrštit se do bodu bude pro 3-varietu znamenat charakterizaci 3-sféry. Po nějaké době ale přišel na to, že by tento předpoklad nemusel nutně být správný, a v roce 1904 své pochyby vydal tiskem, když napsal: „Představme si kompaktní trojrozměrnou varietu V, která nemá žádnou hranici. Je možné, aby byla fundamentální grupa V triviální, a přitom by V nebyla ekvivalentní trojrozměrné sféře?“ Opustíme-li technickou terminologii, zjistíme, že se Poincaré vlastně ptal na toto: „Je možné, aby měla 3-varieta smršťovací vlastnost a přitom nebyla ekvivalentní 3-sféře?L Tak se zrodila Poincarého domněnka.

Jak se ukázalo, žádná rychlá odpověď na jeho otázku se nekonala. Dokonce ani pomalá, a to navzdory tomu, že najít řešení se pokoušela řada špičkových topologů. Výsledkem je fakt, že se případnému důkazu (nebo vyvrácení) Poincarého domněnky dostalo jednoho z nejprestižnějších matematických ocenění.

Tento text je úryvkem z knihy
Keith Devlin: Problémy pro třetí tisíciletí.
Sedm největších nevyřešených otázek matematiky

Argo a Dokořán 2005
O knize na stránkách vydavatele

obalka_knihy

Osobnostní poruchy mohou být výhodné

Orangutani a alternativní strategie. Lidé se snaží psychopaty léčit, orangutani naštěstí k doktorovi nemusí. Zvířata …

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close