autor Continentaleurope, zdroj: Wikipedia, licence obrázku GFDL
autor Continentaleurope, zdroj: Wikipedia, licence obrázku GFDL

Složené objekty a jednoznačnost jejich rozkladu

Základní věta aritmetiky praví, že rozklad složeného čísla na prvočísla je jednoznačný. Proč je tuto větu vůbec třeba dokazovat? Vypadá přece úplně evidentně.

„Čísla 7, 13, 19, 37 a 47 jsou prvočísla, a je-li tedy základní věta aritmetiky zřejmá, mělo by být jasné, že 7 x 13 x 19 se nerovná 37 x 47,“ napsal Tim Grovers v knize Matematika – průvodce pro každého (Dokořán 2006). … „Ve skutečnosti věta žádný snadný důkaz nemá.“

Když Eukleides dokázal, že prvočísel je nekonečno, přidal ještě jakýsi důkaz jednoznačnosti rozkladu na prvočísla. Jenomže tento důkaz stojí na tom, že když prvočíslo dělí součin dvou čísel, musí beze zbytku dělit alespoň 1 z čísel v tomto součinu – pročež pak součin prvočísel nemůže být dělitelný prvočíslem, které mezi ně nepatří. Oboje je ovšem stejně třeba dále dokázat.
Ian Stewart přidává ještě další výklad problému, poněkud psychologický. Prvočísla nám připadají jako stavební kameny všech čísel, něco jako atomy. Molekulu vody můžeme také rozložit jen na 2 atomy vodíku a 1 kyslíku, ne na kombinaci jiných atomů. Jenže to je všechno jen analogie a žádný jednoznačný důkaz. Existují struktury, kde se složitější objekty skládají také ze základních, a přesto je na ně zpětně nemusí jít rozložit jednoznačně.
Stewart předvádí následující konstrukci. Máme před sebou množinu čísel, které jsou o 1 větší než násobky 4: 1, 5, 9… Násobením těchto čísel vytváříme další čísla typu 4k + 1. Některá čísla na tom seznamu však z jednodušších vytvořit nejde, těm můžeme říkat třeba kvaziprvočísla; jsou to taková, která se v rámci seznamu prvků příslušné množiny sama neskládají, ale dají se z nich vytvářet další čísla množiny.
9 je kvaziprvočíslo, protože 1 x 5 se nerovná 9 a nižší čísla v seznamu nejsou (9 = 3 x 3, jistě, ale 3 není v našem seznamu). 45 je na našem seznamu (4 x 11 + 1) a kvaziprovočíslem není (5 x 9).
Každé číslo v seznamu je kvaziprvočíslo nebo součin kvaziprvočísel. Přitom však rozklad takto složeného čísla jednoznačný být vůbec nemusí: 693 je na seznamu (692 je dělitelné 4), není kvaziprvočíslem a lze rozložit na menší čísla na seznamu: 9 x 77, ovšem stejně tak 21 x 33. Všechny 4 činitelé jsou kvaziprvočísla, a přesto konstrukce „složeného prvku“ není jednoznačná.

Čili smůla, základní větu aritmetiky je třeba složitě dokazovat; to, že platí, je málem „jen náhoda“.
Tak co? Vybral si Stewart vhodný (ilustrativní) příklad, nebo tím čtenáře ještě více zmátl?
Ian Stewart: Krocení nekonečna, CPress 2014 a další

Produktivní a neproduktivní válka

Válka snižuje množství násilných úmrtí – ale jen někdy. A proč byl středověk temný? Anglický …

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close