(c) Graphicsstock

Nedokazatelná normalita π

Je π normální? Paradoxně je tato otázka stále nezodpovězena a znovu a znovu si ji klade mnoho matematiků. Iracionální číslo je normální, pokud platí, že se v jeho v desítkovém zápisu číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 objevují se stejnou frekvencí. A totéž musí platit i o dvojicích čísel, tedy 00 až 99, trojicích 000–999 a tak dál.
Pokud je číslo normální ve všech číselných soustavách, říká se mu absolutně normální.
Když Yasumasa Kanada vypočítal bilion číslic π, podíval se, kolikrát se která v rozvoji vyskytuje:

Číslice / Počet výskytů
0 / 99 999 485 134
1 / 99 999 945 664
2 / 100 000 480 057
3 / 99 999 787 805
4 / 100 000 357 857
5 / 99 999 671 008
6 / 99 999 807 503
7 / 99 999 818 723
8 / 100 000 791 469
9 / 99 999 854 780
Celkem 1 000 000 000 000

Kanadovo rozložení číslic neukazuje na žádné nepravidelnosti ani na to, že by se π odchylovalo od normality. Někdo by ovšem mohl považovat bilion položek za málo.
Ve skutečnosti zatím nebyla dokázána normalita čísel π, e, √2, log 2, dokonce ani zlatého řezu (Φ), ani žádné jiné známé konstanty. Vlastně nikdy nebyla dokázána normalita prakticky žádného čísla kromě těch, která byla vytvořena přímo k tomuto účelu. V roce 1917 prezentoval polský matematik
Wacław Sierpiński (1882–1969) první normální číslo. Bylo stoprocentně normální.
Chaitinova konstanta
Ω = 0,00787499699…,
měří pravděpodobnost, s jakou se zastaví Turingův stroj s náhodně vybraným programem. Její definice je poměrně složitá a vyžaduje znalost nekonečných řad, velkých partií informatiky a hluboký vhled do funkce Turingova stroje.
A ačkoli k tomu na první pohled není žádný důvod, Ω je také normální číslo. Normální čísla nejsou vlastně vzácná, existuje jich nespočetně. Počet normálních čísel je tedy srovnatelný s počtem reálných čísel. Téměř všechna čísla jsou normální, problém je pouze v tom, že pro matematiky je velmi těžké tato čísla najít. Tvrzení, že každé iracionální algebraické číslo je normální, patří zatím do oblasti spekulací.

Nedostatečná náhodnost π
Náhodnost π vypadá samozřejmě, ale to je jen zdání. Bratři Čudnovští, odborníci na π, prohnali jeho číslice všemi testy náhodnosti, které si dokázali představit, a π z nich vždy vyšlo jako zcela náhodné. Abychom tomu dobře rozuměli, náhodná čísla jsou taková, jejichž číslice jsou výsledkem náhodného výběru. Náhodná čísla jsou zkoumána už dlouhou dobu, a dlouho také trvalo vytvořit jejich správnou definici. Definice Andreje Kolmogorova se nakonec zdá celkem příhodná. Zaměřuje se spíš na složitost (komplexitu) čísla než na náhodu. Podle Kolmogorova je číslo tím složitější, čím delší je minimální program, který může takovýto řetězec vyprodukovat. Je zřejmé, že pokud je algoritmus potřebný k popsání čísla stejně dlouhý jako číslo samotné, je toto číslo velmi složité (neboli velmi náhodné). Pokud je délka nejjednodušší instrukce k napsání čísla N alespoň rovna N, můžeme ho napsat rovnou a zároveň si přiznat, že jde o velmi složité náhodné číslo.
S π se zrovna tohle nestane, protože algoritmy pro jeho vyčíslení (včetně výpočtu konkrétních číslic) jsou konečné a relativně krátké. Je tedy π náhodné? Spíš ne. Existuje například počítačový program o délce 158 znaků, který umí vypočítat 2 400 číslic π. Není tedy náhodné ani náhodou.
Číslice π jsou uspořádány způsobem, který vypadá jako náhodný. V jejich
pořadí nebyla objevena žádná pravidelnost a není možné předpovědět, jaká bude další číslice. Ano, existují způsoby, jak vypočítat konkrétní číslici, na- příklad pomocí BBP vzorce, ale to neznamená, že jsou číslice předvídatelné. Předpokládá se, že π je „slabě náhodné“, to ale ještě nikdo nedokázal.
Pokud by každá podposloupnost v π byla náhodná, bylo by π normální. Ale opak nemusí být vždy pravda: číslo může být normální a evidentně ne náhodné. Takzvaná Champernownova konstanta, o které budeme mluvit později, je normální, a přitom není náhodná, protože existuje velmi jednoduchý způsob, jak ji vytvořit.

Tento text je úryvkem z knihy:
Joaquín Navarro: Tajemné π
Lze provést kvadraturu kruhu?

Dokořán 2018
O knize na stránkách vydavatele

obalka-knihy

Geometrie Země a hádanky o medvědech

Slavný matematik George Pólya (1887–1985) je autorem dvou klasických hádanek, které se týkají geometrie Země. …

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close