Metahádanky: Kdo je tady špion?

Doporučujeme

Číslo, které člověka zabije

12. 4. 2024

Abstraktní katalyzátory, informace a vědění

30. 3. 2024

Co je to abstraktní katalyzátor

29. 3. 2024

Poslední dvě úlohy jsou příklady fascinujícího typu problémů, kterým budeme říkat metahádanky čili hádanky o hádankách. Dostaneme úkol a k němu příliš málo informací na to, abychom jej mohli vyřešit. Dále je dáno, že někdo další byl či nebyl schopen úlohu vyřešit na základě určité informace navíc, ne vždy je ale dáno, jaká tato informace je. Mohou být ale zadána jistá částečná data, na jejichž základě může čtenář problém vyřešit. Tento pozoruhodný žánr je bohužel v literatuře celkem vzácný. V této kapitole uvedeme pět takových úloh, přičemž začneme u velmi jednoduchých a postupně se dopracujeme k té poslední, která je opravdovou královnou této i předchozích kapitol.

…
/jde o poslední, nejtěžší úlohu z kategorie metahádanek/
Případ se týká soudu se třemi obžalovanými, A, B a C. Ještě před zahájením procesu bylo známo, že jeden z nich je poctivec (který vždy říká jen pravdu), další je padouch (který neustále lže) a poslední je špion, který je normální (občas říká pravdu a občas lže). Úkolem soudu bylo přijít na to, který z nich je špion.
Nejprve byl vyzván A, aby učinil prohlášení. Řekl buď to, že C je padouch, nebo že C je špion, nevíme ale, který z těchto výroků pronesl. Po něm promluvil B a pronesl jeden z následujících dvou výroků: buďto že A je padouch, nebo že A je špion, opět ale nevíme, který výrok to byl. Nakonec se C vyjádřil o povaze kolegy B a oznámil buď to, že B je poctivec, nebo že B je padouch, nebo že B je špion, ale nevíme, kterou ze tří možností zvolil. Soudce z toho zjistil, kdo je špion, a odsoudil jej.
Případ byl později popsán jistému logikovi. Ten na problému chvíli pracoval, nakonec ale prohlásil: „K určení špiona nemám dostatek informací.“ Poté logikovi bylo řečeno, co přesně říkal A, a logik pak již špiona snadno odhalil.
Který z nich byl špion, A, B, nebo C?

…
Řešení
(přidáváme rovnou, protože vzhledek ke složitosti a délce těžko po někom chtít psát podobný rozklad formou komentáře)

Samozřejmě předpokládáme, že soudce i logik byli schopni dokonalých logických úvah.
Jsou dvě možnosti: logikovi bylo řečeno buď to, že A řekl, že C je padouch, nebo to, že A řekl, že C je špion. Oba případy musíme podrobně rozebrat.

Možnost I: A řekl, že C je padouch.
Nyní máme tři možné případy výroku, který pronesl B, a opět musíme probrat jeden po druhém.
Případ 1: B řekl, že A je poctivec. Pak (1) je-li A poctivec, pak C je padouch (protože poctivec A to o něm prohlásil), a tedy B je špion; (2) je-li A padouch, pak B lže, což znamená, že B je špion (nemůže být padouch, neboť tím je A), a tedy C je poctivec; (3) je-li A špion, pak B lže, což znamená, že B je padouch, a tedy C je poctivec. Takže máme jednu z následujících možností:
(1) A je poctivec, B je špion, C je padouch,
(2) A je padouch, B je špion, C je poctivec,
(3) A je špion, B je padouch, C je poctivec.
Teď si představme, že by C řekl, že B je špion. To by vylučovalo (1) i (3). Kdyby platil výrok (1), pak by padouch C nemohl prohlašovat, že B je špion, protože B špion je, a ani kdyby platil výrok (3), by poctivec C nemohl tvrdit, že B je špion, protože B špion není. Zbyla by jen možnost (2), a soudce by snadno určil, že špion je B.
Předpokládejme, že C řekl, že B je poctivec. Pak by jedinou možností byl případ (1), soudce by si toho byl vědom a opět by odsoudil B.
Předpokládejme, že C řekl, že B je padouch. Pak by soudce nevěděl, zda nastává (1), nebo (3). Nemohl by tedy vědět, je-li špionem A nebo B, a nemohl by tedy odsoudit nikoho. Takže C neřekl, že B je padouch. (Samozřejmě stále pracujeme za předpokladů, které vymezují případ 1, tedy že B řekl, že A je poctivec.)
Takže pokud nastal Případ 1, pak jediný, koho mohl soudce odsoudit, je B.
Případ 2: B vypověděl, že A je špion. Necháme čtenáře, aby sám ověřil, že jediné možnosti jsou tyto:
(1) A je poctivec, B je špion, C je padouch,
(2) A je padouch, B je poctivec, C je špion,
(3) A je špion, B je poctivec, C je padouch.
Řekl-li C, že B je špion, pak musí nastat buď (2), nebo (3), a soudce nemůže nikomu nic dokázat. Řekl-li C, že B je poctivec, pak může platit jedině (1) a soudce může vesele zavřít B za katr. Řekl-li C, že B je padouch, pak může nastat buď (1), nebo (3), a žádný rozsudek nepadne. Takže C musel říci, že B je poctivec, načež byl B odsouzen.
Tedy i v Případě 2 by byl odsouzen B.
Případ 3: B řekl, že A je padouch. V tomto případě máme čtyři možnosti (jak si čtenář snadno ověří):
(1) A je poctivec, B je špion, C je padouch,
(2) A je padouch, B je špion, C je poctivec,
(3) A je padouch, B je poctivec, C je špion,
(4) A je špion, B je padouch, C je poctivec.
Kdyby C prohlásil, že B je špion, mohly by nastat možnosti (2), nebo (3), a soudce by nemohl určit, kdo je vinen. Kdyby C řekl, že B je poctivec, pak by mohly nastat případy (1), nebo (3), a tedy ani za těchto okolností by soudce případ nevyřešil. Kdyby C řekl, že B je padouch, pak by mohla nastat kterákoli z možností (1), (3) nebo (4), a ani nyní by soudce neměl tušení, kde se nachází viník.
Takže Případ 3 je vyloučen. Teď tedy víme, že nastal buď Případ 1, nebo Případ 2, každopádně ovšem soudce odsoudil obžalovaného B.
Tedy nastává-li Možnost I (to jest A řekl, že C je padouch), pak B musí být špion. Tedy kdyby se logikovi dostalo informace, že A řekl, že C je padouch, vyřešil by problém a poznal by, že B musí být špion.

Možnost II: Nyní předpokládejme, že se logikovi dostalo informace, že A řekl, že C je špion. Dokážeme, že v takovém případě by logik nemohl problém vyřešit, neboť nelze vyloučit ani to, že soudce odsoudil A, ani to, že soudce odsoudil B, a mezi těmito případy nelze rozhodnout.
Předpokládejme, že A prohlásil, že C je špion. Pak jediný způsob, jakým by se případ mohl vyvinout v odsouzení A, je tento: Předpokládejme, že B řekl, že A je poctivec, a C řekl, že B je padouch. Je-li A špion, pak by B mohl být padouch (jenž mylně tvrdí, že A je poctivec) a C by mohl být poctivec (který pravdivě vypovídá, že B je padouch). Obžalovaný A, takto špion, by mohl nepravdivě tvrdit, že špionem je ve skutečnosti C. Je tedy přípustné, že A, B a C pronesli uvedené výroky, přičemž A je špion. Kdyby byl špion B, pak by A musel být padouch, neboť tvrdí, že C je špion, a C by musel být také padouch, aby mohl tvrdit, že B je padouch, a to tedy není možné. Kdyby byl špion C, pak A by musel být poctivec, aby mohl po pravdě tvrdit, že C je špion, ale také B by musel být poctivec, neboť pravdivě vypovídá, že A je poctivec, a tedy ani tato možnost nepřichází v úvahu. Takže A musí být špion (protože B řekl, že A je poctivec, a C řekl, že B je padouch). Je tedy možné, že odsouzen byl A.
A nyní si ukážeme způsob, jakým mohl být odsouzen B: Řekněme, že B prohlásil, že A je poctivec, a C řekl, že B je špion. (Přitom neustále předpokládáme, že A řekl, že C je špion.) Je-li A špion, pak B je padouch, protože prohlásil, že A je poctivec, a také C je padouch, neboť tvrdil, že B je špion, takže tato možnost odpadá. Kdyby byl C špion, pak by A byl poctivec (neboť kolegu špiona osobně naprášil), ale i B je poctivec, protože ten se zase vyjádřil ve smyslu, že A je poctivec, takže ani tato možnost nemůže nastat. Je-li ale oním špionem B, pak se k žádnému sporu nedopracujeme (A může být klidně padouch, který tvrdí, že C je špion, C může být poctivec, který tvrdí, že B je špion, a B mohl bez obav prohlásit, že A je poctivec). Takže je úplně klidně možné, že A, B a C vypověděli tři uvedené výroky a že na jejich základě soudce odsoudil B.
Dokázali jsme, že kdyby A řekl, že C je špion, pak je možné, že soudce odsoudil B, i to, že odsoudil A, přičemž neexistuje žádný způsob, jak poznat, která z těchto dvou možností nastala. To znamená, že kdyby bylo logikovi sděleno, že A řekl, že C je špion, pak by logik nemohl problém vyřešit. My ale víme, že logik problém vyřešil. To znamená, že se dozvěděl, že A řekl, že C je padouch. Potom, jak víme, soudce mohl odsoudit jedině B. Takže B je špion.

Tento text je úryvkem z knihy
Raymond Smullyan: Dáma s tygříkem a další logické hrátky
Argo a Dokořán 2017
O knize na stránkách vydavatele