(c) Graphicsstock

Čtyři čtverce a čtyři trojmoce

Experimenty vedly několik matematiků k domněnce, že každé celé číslo je součtem čtyř celočíselných trojmocí.

V kapitole 2 jsme viděli, čím jsou charakteristické součty dvou čtverců, a v kapitole 3 jsme ukázali totéž pro součet tří čtverců. Když jde o součet čtyř čtverců, nemusíte vymýšlet, která čísla lze takhle napsat. Jde to se všemi. Každý čtverec navíc umožňuje dosáhnout na více čísel, takže přidáním
čtvrtého čtverce bychom aspoň nějakou tu mezeru měli zaplnit. Krátký experiment nám ukáže, že takto lze napsat každé číslo od 1 do 100. Vezměme si kupříkladu číslo 7 – není součtem tří čtverců, ale ze čtyř to jde:

7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Je však možné, že jsme uspěli jen díky tomu, že pracujeme s malými čísly. Možná že větší čísla vyžadují pět čtverců, nebo šest, nebo dokonce ještě víc. Ale není tomu tak. I větší čísla lze napsat jako součet čtyř čtverců. Matematici se snažili nalézt důkaz platnosti tohoto tvrzení pro všechna kladná čísla a Joseph Louis Lagrange v roce 1770 jeden důkaz našel.

Domněnka o čtyřech trojmocích
Existovala domněnka, že podobná věta platí i o čtyřech trojmocích, ovšem s jednou změnou: jsou povolena nejen kladná, ale i záporná čísla. Takže domněnka zní: každé celé číslo je součtem čtyř trojmocí celého čísla. Připomeňme, že celé číslo může být kladné, záporné anebo 0.
První pokus zobecnit větu o čtyřech čtvercích na trojmoce učinil v roce 1770 Edward Waring v Meditationes Algebraicae. Bez důkazu tam uvedl, že každé celé číslo je součet čtyř čtverců, devíti trojmocí, 19 čtyřmocí atd. On ovšem předpokládal, že všechna čísla jsou kladná nebo 0. Toto tvrzení vešlo ve známost jako Waringův problém.
Trojmoc záporného čísla je záporná, a připustíme-li záporná čísla, objeví se nové možnosti. Například:

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13,

což vyžaduje 9 kladných trojmocnin. Ale svedeme to pomocí pěti trojmocí, když povolíme záporné:

23 = 27 − 1 − 1 − 1 − 1 = 33 + (−1)3 + (−1)3 + (−1)3 + (−1)3.

Číslo 23 lze dokonce napsat jako součet jen čtyř trojmocí:

23 = 512 + 512 − 1 − 1000 = 83 + 83 + (−1)3 + (−10)3,

nebo

23 = 8 + 8 + 8 − 1 = 23 + 23 + 23 + (−1)3.

Když připustíme i záporná čísla, mohou se totiž velká kladná a velká záporná čísla do velké míry kompenzovat. Takže v principu mohou být v součtu mnohem větší čísla než to, které vyjadřujeme. Kupříkladu 30 můžeme napsat jako

30 = 2 220 422 9323 + (−283 059 965)3 + (−2 218 888 517)3.

Je vidět, že na rozdíl od případu kladných čísel se v tomto případě nemůžeme omezit na systematické probrání konečného počtu možností. Experimenty vedly několik matematiků k domněnce, že každé celé číslo je součtem čtyř celočíselných trojmocí. Zatím to dokázáno není, ale mnoho tomu nasvědčuje a jistého pokroku už bylo dosaženo. Stačilo by, kdyby se podařilo dokázat toto tvrzení pro všechna kladná celá čísla (s tím, že by byly povoleny kladné i záporné trojmocniny), protože (−n)3 = −n3. Každá reprezentace kladného čísla m ve tvaru součtu trojmocí může být změněna v reprezentaci – m, když změníme znaménko u každé trojmocniny. Počítačové simulace ověřují, že každé kladné číslo až do 10 milionů je součet čtyř trojmocí. A v roce 1966 dokázal V. Demjaněnko, že každé číslo tvaru 9k ± 4 je součtem čtyř trojmocí.
Je také možné, že až na konečný počet výjimek lze každé kladné celé číslo napsat jako součet čtyř nezáporných trojmocí. V roce 2000 vyslovili Jean-Marc Deshouillers, François Hennecart, Bernard Landreau a I. Gusti Putu Purnaba domněnku, že největší celé číslo, které takto nelze vyjádřit, je 7 373 170 279 850.

Tento text je úryvkem z knihy
Ian Stewart: Neuvěřitelná čísla profesora Stewarta
Argo a Dokořán 2019
O knize na stránkách vydavatele

obalka_knihy

Sloní krok – anebo běh?

Žokejové se spolu často dohadovali, jestli má kůň v trysku někdy všechna čtyři kopyta ve …

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close