Sciencemag.cz
Doporučujeme
Inspektora Craiga jsme opustili v okamžiku, kdy se pohodlně usazen v rychlíku ženoucím se napříč Transylvánií zaobíral příjemným pomyšlením na to, že bude brzy doma. „Dost bylo upírů!“ říkal si tiše. „Už abych byl doma v Londýně, kde je všechno tak úžasně normální!“
Craig ovšem neměl ani potuchy o tom, že před návratem domů bude muset zvládnout ještě jedno dobrodružství, a to dobrodružství zásadně odlišné od posledních dvou eskapád. A vůbec by ho už nenapadlo, že se na něj chystá záhada přitažlivá pro milovníky kombinatorických hrátek. Zde je podrobný popis událostí:
Inspektor Craig se rozhodl, že si udělá zastávku v Paříži, aby zde vyřídil několik záležitostí. Když byl s nimi hotov, vyrazil vlakem z Paříže do Calais, aby zde překonal kanál La Manche a dopravil se do Doveru. Jakmile ovšem vystoupil v Calais z vlaku, přistoupil k němu francouzský policista a podal mu telegram z Monte Carla. Pisatel jej úpěnlivě žádal, aby se neprodleně dostavil a pomohl vyřešit jakýsi „neodkladný problém“.
„Ach, bože!“ pomyslel si Craig, „takhle se domů nedostanu ani za prase!“
Co naplat, služba je služba. Craig tedy své plány opět změnil a vydal se do Monte Carla, kde na něj na nádraží čekal policejní důstojník jménem Martinez. Ten ho také ihned dovedl do jedné z místních bank.
„Problém je následující,“ vysvětloval Martinez. „Ztratili jsme kombinaci čísel, kterou se otevírá náš největší sejf. Mohli bychom vyhodit do povětří jeho dveře, ale stálo by nás to nepředstavitelné peníze.“
„A jak se něco takového mohlo stát?“ podivil se Craig.
„Kombinaci jsme si poznamenali na jednu jedinou kartičku a jeden z těch lajdáků, co tady pracují, ji lehkomyslně zapomněl v sejfu, když jej zavíral!“
„Kriste Pane!“ zvolal Craig. „A to si tu kombinaci nikdo nepamatuje?“
„Absolutně nikdo, pane,“ povzdychl si Martinez. „A nejhorší na tom je, že pokud bychom zadali nesprávnou kombinaci, tak by se zámek navěky zasekl. Pak už by skutečně nezbylo, než vyhodit dveře sejfu do povětří. To ale, jak už jsem řekl, vůbec nepřipadá v úvahu, a to nejen kvůli obrovské hromadě peněz, kterou by to stálo, ale hlavně proto, že uvnitř jsou uloženy jisté nesmírně cenné a velice citlivé materiály.“
„No, tak moment,“ pravil Craig, „řekněte mi, co to tady vlastně máte za mechanismus a jak je možné, že jej lze zaseknout zadáním jediné nesprávné kombinace?“
„Byl jsem velmi rozhodně proti pořízení takového zámku, pane,“ řekl Martinez, „ale na schůzi vedení mě přehlasovali. Tvrdili, že toto zařízení má jisté cenné a unikátní přednosti, které více než vyvažují nevýhody vyplývající z možnosti jeho zničení eventuálním zadáním špatné kombinace.“
„To je ta nejabsurdnější historka, jakou jsem kdy slyšel,“ neodpustil si Craig poznámku.
„Souhlasím s vámi z celého srdce, pane,“ zvolal Martinez, „avšak co teď máme dělat?“
„Upřímně řečeno, nemám tušení,“ odpověděl Craig, „a hlavně nevím, jak bych vám mohl pomoci já, když tu nejsou žádná vodítka, kterých bych se mohl chytit. Velice se obávám, že jsem výlet za vámi podnikl zcela zbytečně.“
„Počkejte, ale jistá vodítka tu jsou!“ řekl Martinez, a trochu se mu při tom rozjasnily líce. „Jinak bych vás sem přece netahal.“
„Vážně?“ zeptal se Craig.
„No jasně,“ řekl Martinez. „Nedávno jsme tady měli velice pozoruhodného, ale trochu podivínského zaměstnance, který se nesmírně zajímal o matematické hádanky. Vášnivě se zaobíral studiem kombinačních zámků a našemu sejfu věnoval obzvlášť velkou pozornost. Dokonce prohlásil, že jde o nejpodivnější a zároveň nejchytřejší mechanismus, jaký kdy viděl. Neustále vymýšlel hádanky, s nimiž pak často mnohé z nás vskutku pobavil. Jednou napsal článek, ve kterém uvedl soupis několika vlastností zámkového mechanismu. V článku tvrdil, že z uvedených vlastností se dá správná kombinace, kterou lze otevřít sejf, vydedukovat. Předložil nám své tvrzení jako zábavný problém, ale na kohokoli z nás to byla příliš obtížná úloha, tak jsme ji časem pustili z hlavy.“
„No a máte ten článek?“ zeptal se Craig. „Předpokládám, že bude nejspíš zamčený v sejfu spolu s kartičkou, na které je napsána kombinace, ne?“
„Chvála bohu, není tomu tak, pane,“ pravil Martinez, to už ale tahal rukopis ze šuplíku. „Naštěstí jsem si jej uložil tady.“
Inspektor Craig si rukopis pečlivě prohlédl.
„Chápu, proč nikdo z vás nemohl úlohu vyřešit, je opravdu extrémně obtížná! Nebylo by snazší se jednoduše spojit s autorem? Možná si to bude ještě pamatovat, nebo bude alespoň schopen kombinaci zrekonstruovat, ne?“
„Byl zaměstnán pod jménem Martin Farkus, ale myslíme si, že to bylo smyšlené jméno,“ řekl Martinez. „Veškerá naše snaha o jeho nalezení vyzněla naprázdno.“
„Hm!“ pravil Craig. „Tak v tom případě asi jediná možnost bude zkusit tu úlohu vyřešit, ale může to trvat několik týdnů, nebo dokonce měsíců.“
„Je tu ještě jedna věc, kterou byste měl vědět,“ řekl Martinez. „Je naprosto nezbytné, abychom sejf otevřeli do prvního června. V sejfu jsou uloženy jisté dokumenty, které prostě musí být předloženy druhého ráno. Jestli do té doby kombinaci nezjistíme, budeme muset dveře sejfu otevřít násilím, bez ohledu na následky. Ten dokument by explozi přežil, protože se nachází uvnitř velmi solidního vnitřního sejfu, který sám je uložen co možná nejdále ode dveří. A pokud jde o ty ostatní položky – co by se holt dalo dělat, tento dokument má absolutní prioritu! Ušetřili bychom ale slušnou kupičku peněz, kdybychom se k této alternativě nemuseli uchýlit!“
„Dobrá, zkusím, co se dá,“ řekl Craig, vstávaje. „Nic vám neslibuji, ale udělám vše, co bude v mých silách.“
Nyní si povězme něco o obsahu Farkusova rukopisu. Nejprve je třeba si uvědomit, že kombinace používaly písmena, nikoli čísla. Kombinací budeme nazývat jakýkoli řetězec kterýchkoli z dvaceti šesti velkých písmen anglické abecedy. Řetězec může mít libovolnou délku a může obsahovat libovolná písmena, přičemž každé z nich se v řetězci může opakovat kolikrát libo. Příkladem kombinací jsou řetězce BABXZ nebo XEGGEXY. Dokonce i osamělé písmeno je považováno za kombinaci (a to kombinaci délky 1). Některé kombinace otevřou zámek, některé jiné jej zničí, a všechny ostatní nemají na zámek žádný vliv. Kombinace, které nechají zámek na pokoji, se nazývají neutrální. Budeme používat malá písmena x a y pro označení libovolných kombinací. Symbolem xy budeme rozumět kombinaci x, po níž následuje kombinace y, takže je-li x = GAQ a y = DZBF, pak xy = GAQDZBF. Inverzní kombinací (nebo krátce inverzí dané kombinace) nazýváme kombinaci přečtenou pozpátku. Například inverzní kombinací k BQFR je RFQB. Opakováním kombinace x (značíme xx) rozumíme kombinaci x následovanou ještě jednou kombinací x, takže opakováním BQFR je BQFRBQFR.
Farkus (nebo jak se vlastně doopravdy jmenoval) v článku zavedl pojem takzvaného speciálního vztahu mezi jednotlivými kombinacemi. Kombinace může mít speciální vztah k jiným kombinacím, nebo i sama k sobě. Farkus se ale ani slovem nezmínil o tom, co si pod tímto označením představuje. Nicméně uvedl dostatečně mnoho vlastností tohoto „speciálního vztahu“ (ať už je to cokoli), aby bystrá osoba byla schopna odvodit správnou kombinaci a otevřít zámek. Konkrétně zaznamenal následujících pět klíčových vlastností, které, jak uvedl, platí pro libovolné kombinace x a y:
Vlastnost Q: Pro každou kombinaci x platí, že QxQ má speciální vztah k x. Například QCFRQ má speciální vztah k CFR.
Vlastnost L: Má-li x speciální vztah k y, pak Lx má speciální vztah k Qy. (Například QCFRQ má speciální vztah k CFR, a tedy LQCFRQ má speciální vztah k QCFR.)
Vlastnost V (vlastnost inverze): Má-li x speciální vztah k y, pak Vx má speciální vztah k inverzi y. (Například protože QCFRQ má speciální vztah k CFR, má také VQCFRQ speciální vztah k RFC.)
Vlastnost R (vlastnost opakování): Má-li x speciální vztah k y, pak Rx má speciální vztah k yy (tedy k opakování y). (Například protože QCFRQ má speciální vztah k CFR, má RQCFRQ speciální vztah k CFRCFR. Podobně – jak jsme viděli na ilustračním příkladu k vlastnosti V – VQCFRQ má speciální vztah k RFC, a tedy RVQCFRQ má speciální vztah k RFCRFC.)
Vlastnost Sp: Má-li x speciální vztah k y, pak jestliže x zničí zámek, y je neutrální, a jestliže x je neutrální, pak y zničí zámek. Například, jak víme, RVQCFRQ má speciální vztah k RFCRFC. To znamená, že kdyby měl řetězec RVQCFRQ schopnost zničit zámek, pak by řetězec RFCRFC neměl na mechanismus žádný vliv, a kdyby LVQCRFQ neměl vliv na chod mechanismu, pak by sekvence RFCRFC byla pro zámek zničující.
Z těchto pěti pravidel se skutečně dá zjistit kombinace, která otvírá zámek. Je jich dokonce víc, přičemž ta nejkratší, která je známa mně, má deset písmen.
Bylo by samozřejmě poněkud nerozumné požadovat po čtenáři, aby úlohu vyřešil hned v tento okamžik. Za chováním mechanismu je v pozadí skryta ucelená hluboká teorie, kterou postupně odhalíme v několika následujících kapitolách. Tato teorie je spjata s určitými úžasnými objevy v matematice a v logice, a to způsobem, který rovněž vyjde najevo později.
Craig se ihned po svém rozhovoru s Martinezem po hlavě vrhl do řešení hádanky a pracoval na něm po několik dalších dní, s problémem nicméně nepohnul.
„Nemá smysl, abych zde setrvával déle,“ přemítal Craig. Nemám potuchy, jak dlouho mi tohle bude trvat, a klidně na tom mohu pracovat i doma.“
A tak se Craig vrátil do Londýna. To, že problém nakonec přece jen vyřešen byl, je zásluhou nejen bystrosti Craiga a jistých jeho dvou přátel, s nimiž se seznámíme zakrátko, nýbrž i velmi pozoruhodné shody okolností, která se na ně chystala.
Tento text je úryvkem z knihy
Raymond Smullyan: Dáma s tygříkem a další logické hrátky
Argo a Dokořán 2017
O knize na stránkách vydavatele
Nechci hádanku pokazit uvedením řešení o délce 10 písmen, které předpokládám, že bude vysvětlené v knize. Zaměřil jsem se na nalezení všech ostatních řešení. K řešení lze uplatnit jedině nalezení nějakého sporu, že jak v případě, že by určitá kombinace byla neutrální tak v případě ničící kombinace by vyšel rozpor. Tedy taková nalezená kombinace pak odemkne zámek. Je zajímavé, že pro každou kombinaci y existuje nekonečně mnoho kombinací x, které mají prokazatelně speciální vztah k y, (označím to „rel(x, y)“), ale pro každé x existuje nejvýše jedno y, pro které lze dokázat, že platí rel(x, y). Tím odpadnou všechny složitější možnosti, že by například šlo nalézt a, b, c, kde platí rel(a, b), rel(b, c) a zároveň rel(a, c). Zbývá tedy jediný způsob, jak dosáhnout sporu a autor k tomu jednoduššímu případu výslovně navádí. Osvědčilo se mi nezabývat se zpočátku pořadím písmen a pořadím použití pravidel a označit si proměnnými četnosti jednotlivých znaků použitých ve výchozím pravidle Q, a dalšími proměnnými označit, kolikrát jsou která pravidla použita, aby mohla nastat kombinace, která vyvolá spor, tedy otevření. Pak je další postup mnohem jednodušší. Vyšlo mi, že nejkratší řešení je skutečně jen jedno o délce 10 znaků. Pak následují dvě řešení o délce 11 znaků „VLRVQVLRVQQ“, „VLVRQVLVRQQ“ a dál počty řešení asymptoticky rostou přibližně kvadraticky s délkou řetězce delšího než deset, tedy počet řešení kratších než nějaká délka pak roste s třetí mocninou délky. Je zajímavé, že o všech ostaních kombinacích nelze nijak vůbec nic odvodit, co se stane nebo nestane. Dokonce je možné, že mnohem více kombinací zámek otevře, než kolik jich neudělá nic nebo ho zničí. Má někdo chuť něco z toho ověřit nebo zpochybnit?