Sciencemag.cz
Doporučujeme
Jedním z nejdůležitějších způsobů, jakým nekonečno vystupuje v matematice, je v rámci pojetí nekonečných řad. Příkladem je
¼ + 1/16 + 1/64 + · · · =1/3
Jak naznačují tři tečky, řada členů na levé straně pokračuje neomezeně, přičemž každý další člen je čtyřikrát menší než předchozí. „Součet“ je nicméně konečný, rovná se 1/3, a to ted’ dokážeme poněkud nekonvenčním způsobem, totiž pomocí čokolády.
Můžete si na chvíli představit, že jste prodavač a prodáváte čokoládu v „mimořádné nabídce“. Ke každé tabulce čokolády je přiložen jeden kupon. Zákazník, který předloží čtyři kupony, má nárok na další tabulku zdarma.
Klíčem k důkazu hledaného výsledku pak je následující otázka: Jakou hodnotu vyjádřenou množstvím čokolády má jeden kupon?
Zkoumáme nekonečnou řadu
Za čtyři kupony lze zdarma získat jednu tabulku čokolády. Hodnota jednoho kuponu tedy je
¼ [ čokoláda + kupon ],
kde „čokoláda“ je zkrácené vyjádření množství skutečné čokolády obsažené v jedné tabulce. Kupon v závorce však „sám“ má hodnotu ¼ tabulky čokolády, takže jeho hodnotu můžeme vyjádřit také jako ¼ [čokoláda +1/4 (čokoláda + kupon)].
Budeme-li takto postupovat neomezeně, zjistíme, že jeden kupon má hodnotu
¼ + 1/16 + 1/64 + · · tabulek čokolády.
K důkazu hledaného výsledku pak stačí dokázat, že jeden kupon má zároveň hodnotu 1/3 celé tabulky čokolády.
Zkoumáme 1/3
Jinak řečeno, potřebujeme dokázat, že tři kupony mají hodnotu jedné tabulky skutečné čokolády.
K tomu účelu si představte, že jste prodavač a že do vašeho obchodu přišel zákazník se třemi kupony a řekl:
Dobrý den, chtěl bych si koupit tabulku čokolády, chtěl bych ji sníst hned tady v obchodě a zaplatit vám, jakmile ji sním.
V první chvíli si určitě v duchu řeknete „zase nějaký bláznivý matematik“, ale protože máte dobrou náladu, dáte mu tabulku čokolády.
Zákazník ji rozbalí, vezme v ní obsažený kupon a přidá k němu ty tři, s nimiž do obchodu přišel. Nyní tedy má čtyři kupony!
Dá vám je a řekne: „Tady máte čtyři kupony. Mám nárok na tabulku čokolády!“
Vy na to opáčíte: „Asi máte krátkou paměť. Vždyť jsem vám právě jednu dal!“
Zákazník trochu zahanbeně řekne: „Samozřejmě. Jsem hlupák. Takže mi vlastně nedlužíte nic a já vám také nic nedlužím. Jsme vyrovnáni. Moc vám děkuji. Na shledanou.“
A teď si to shrňme. Zákazník měl tři kupony a žádnou čokoládu a odešel bez kuponů a dostal jednu tabulku čokolády. Jeden kupon má tedy hodnotu jedné třetiny čokolády, takže
¼ + 1/16 + 1/64 + · · · =1/3
Tento text je úryvkem z knihy
David Acheson: Duch matematiky. Algebra a další lahůdky
Dokořán 2024
O knize na stránkách vydavatele
4 kupony = 1 „cokolada s kuponom“ = 1 cokolada + 1 kupon
4k = 1c + 1k
3k = 1c
k = 1c / 3 = 1/3 cokolady
1 kupon = 1/3 cokolady
Ide to aj bez tych nekonecnych radov. Ci mi nieco uslo?
Zajímavé.
„Zákazník měl tři kupony a žádnou čokoládu a odešel bez kuponů a dostal jednu tabulku čokolády. Jeden kupon má tedy hodnotu jedné třetiny čokolády, “
Vážně? Zákazník ale odevzdal 4 kupony (3 si přinesl, jeden prý dostal s tabulkou) a snědl jen tu jednu tabulku a odešel bez kuponů. Čtvrtina.
Problém vidím ve zmatečné formulaci. Nejprv se píše že KAŽDÁ tabulka má kupon, a hned nato se píše že za 4 kupóny dostane tabulku (a ne tabulku PLUS kupon). A pak se (z citované věty) jakoby kupon dokonce vypaří. Prostý účelový zmatek, kdy každý může vidět co chce.
Viz slovo „dostane“. Když něco dostanu, neplatím za to. Pokud je to (byť skrytě) zahrnuto v ceně, nedostávám, ale kupuji si to, ačkoli se to vzletně nazývá „dostat navíc“.
Takže pokud před „akcí“ stála tabulka 1 Kč, a v akci s kupónem taky 1Kč, je to jasná čtvrtina a jasný zisk zákazníka (třeba hrozí že by čokoška prošla, tak si na ní prodejce mastí PR s tím že jinak by ji musel stejně vyhodit). Pokud ne, je to nekalý marketingový tah, jaký vidíme dnes a denně kolem sebe v obchodech, kdy celí šťastní „dostáváme“ +25 % obsahu navíc, který je ovšem nenápadně rozpočítán jinde.
@Wrunx
Druhá část, ta o podvodech prodavačů, je diskutabilní, protože prý 🙂 existují i slušní prodavači.
S první částí souhlasím. Zákazník pomocí logické hříčky okradl!! prodavače. Nejde o seriózní výpočet.
(Toto jsme se učili již na ZUŠ v Bohumíně v matematické třídě)