Foto: © Dollar Photo Club
Foto: © Dollar Photo Club

Meze matematické reality: rozhodnutelnost a vyčíslitelnost

Jak velké je multiverzum úrovně IV?
/tedy matematická struktura, která má být podle Tegarka totožná s naší fyzikální realitou/

Je jasné, že konečných matematických struktur je nekonečný počet. Přesněji řečeno tolik, kolik je čísel 1, 2, 3, …, neboť jsme právě viděli, že je lze všechny uvést na jednom velkém seznamu. Kolik však multiverzum úrovně IV obsahuje nekonečných matematických struktur, takových, které mají nekonečný počet prvků? Viděli jsme, že některé nekonečné struktury lze definovat a zahrnout na seznam spolu s konečnými strukturami, když k definici jejich relací použijeme počítačový program. Pokus o zahrnutí nekonečna však otevírá Pandořinu skříňku ontologických problémů. Abychom to nahlédli, uvažme matematickou strukturu, jejímiž prvky jsou přirozená čísla 1, 2, 3, … a která obsahuje tři relace (funkce) z následujícího seznamu, tedy pravidla, podle nichž je z čísel na vstupu vypočteno nové číslo následujícími předpisy:
1.
P(n): Pro dané číslo n označuje P(n) nejmenší prvočíslo větší než n.
2.
T(n): Pro dané číslo n označuje T(n) nejmenší prvočíselné dvojče větší než n (prvočíselné dvojče je prvočíslo, jehož nejbližším sousedem je opět prvočíslo; příkladem je 11 a 13).
3.
H(m,n): Pro daná dvě čísla m a n je H(m,n) rovno 0, jestliže m-tý počítačový program na daném seznamu všech programů bude počítat věčně, když na vstup vložíme číslo n, zatímco H(m,n) je rovno 1, jestliže se program po konečném počtu kroků naopak zastaví.

Multiverzum úrovně IV
Splňuje tato struktura všechny podmínky na členství v multiverzu úrovně IV, anebo není dostatečně dobře definovaná? První funkce, tedy P(n), je lehký případ: je snadné napsat program, který začne zjišťovat, jestli čísla následující po n jsou prvočísla, a zastaví se, jakmile nějaké nalezne. Je při tom zaručeno, že program se po konečném počtu kroků opravdu zastaví, protože prvočísel existuje nekonečný počet – tento fakt prokázal Eukleides už před dvěma tisíciletími. Takže P(n) je příkladem takzvané vyčíslitelné funkce.
Druhá funkce, T(n), je složitější: i v tomto případě je snadné napsat program, který kontroluje všechna čísla následující po n a zjišťuje, jestli se jedná o prvočíselné dvojče, ale když na jeho vstup vložíte číslo větší než 37568016956852666669 − 1 (což je největší prvočíselné dvojče známé v době psaní této knihy), nemáme už žádnou záruku, že se program někdy zastaví a dá nějaký výsledek, protože i přes velké úsilí našich nejtalentovanějších matematiků stále nevíme, zdali prvočíselných dvojčat existuje nekonečný počet. Takže pro tuto chvíli nevíme, zdali je T(n) vyčíslitelná funkce, a tudíž jestli je rigorózně definovaná. Je diskutabilní, jestli matematická struktura obsahující takto nepořádně specifikovatelnou relaci je dobře určená.
Třetí funkce, tedy H(m,n), je dokonce ještě ohavnější: průkopníci matematické informatiky Alonzo Church a Alan Turing zjistili, že neexistuje žádný program, který by dokázal v konečném počtu kroků spočítat H(m,n) pro libovolná dvě vstupní čísla m a n, takže H(m,n) je příkladem takzvané nevyčíslitelné funkce. Jinými slovy: žádný program nedokáže určit, jestli se jiné programy nakonec zastaví. Samozřejmě, každý program se buď zastaví, nebo nezastaví, ale háček je (stejně jako v případě prvočíselných dvojčat) v tom, že byste na odpověď museli čekat nekonečně dlouhou dobu. Churchův–Turingův objev nevyčíslitelných funkcí úzce souvisí s objevem logika Kurta Gödela, že některé aritmetické věty jsou nerozhodnutelné, což znamená, že je nelze konečným počtem kroků ani dokázat, ani vyvrátit.
Máme matematickou strukturu pokládat za dobře definovanou i v případě, kdy obsahuje relaci, jako je H, kterou nelze vyčíslit ani tím největším představitelným počítačem? A pokud ano, její struktura bude známa jenom entitě připomínající orákulum, která má v určitém smyslu nekonečné schopnosti a k získání odpovědi dokáže provést opravdu nekonečně mnoho výpočetních kroků. Takové struktury by se nikdy neobjevily na našem seznamu, o němž jsme mluvili, neboť ten obsahuje pouze struktury definovatelné běžnými počítačovými programy, nikoli těmi, jež vyžadují nekonečnou moc orákula.
A konečně, uvažme i nejpopulárnější matematickou strukturu naší doby, totiž reálná čísla jako například 3,141592…, jež obsahují nekonečný počet cifer. Tvoří kontinuum, a abychom byť jen jediné takové číslo specifikovali, musíme vyrobit seznam nekonečně mnoha cifer, což představuje nekonečné množství informací. To znamená, že běžné počítačové programy jsou pro takový úkol zoufale nedostatečné. Problém není jenom v nutnosti provést pro konečný vstup nekonečný počet výpočetních kroků, jako v případě H, ale v tom, že nekonečně mnoho informací je na vstupu i na výstupu.
Také práce Kurta Gödela nás může vést k obavám, že hypotéza matematického vesmíru nedává pro nekonečné matematické struktury žádný smysl, neboť náš vesmír by byl čímsi nekonzistentní a nedefinovaný. Přijmeme-li bonmot matematika Davida Hilberta, že „matematická existence není nic jiného nežli zbavení se rozporuplnosti“, pak nekonzistentní struktura by nemohla matematicky existovat, natožpak fyzikálně, jak tvrdí HMV. Náš standardní model fyziky zahrnuje běžné matematické struktury, jako jsou celá a reálná čísla. A přesto Gödelovo dílo ponechává otevřenou možnost, že dokonce i běžná matematika je nekonzistentní a že v samé teorii čísel existuje důkaz konečné délky, který demonstruje, že 0 = 1. Pomocí tohoto šokujícího výsledku by pak bylo možné dokázat pravdivost zcela libovolného (syntakticky korektního) tvrzení ohledně přirozených čísel s nulou. Celá matematika v dnešní podobě by se rázem zhroutila jako domeček z karet.
Je tedy hypotéza matematického vesmíru Gödelovou větou o neúplnosti vyloučena? Pokud víme, tak nikoli! Gödel ukázal, že dostatečně mohutný formální systém nelze použít k důkazu své vlastní konzistence. To ale neznamená, že nekonzistentní opravdu je, anebo že stojíme před nějakým problémem. Náš vesmír opravdu nevykazuje žádné známky nekonzistence ani toho, že by byl nesprávně definován, přestože nám poskytuje dobré důvody myslet si, že je matematickou strukturou. Navíc: v co jsme to vůbec doufali? I kdyby se formální systém dal použít k důkazu své vlastní konzistence, nepřesvědčilo by nás to, že konzistentní opravdu je, poněvadž v nekonzistentním systému lze dokázat cokoli – včetně jeho konzistence. Možná by nás přesvědčilo, kdybychom pomocí jednoduššího systému, o němž máme dobré důvody věřit, že je konzistentní, mohli dokázat konzistenci mohutnějšího systému. Nepřekvapí však – jak rovněž dokázal Gödel – že ani tohle není možné. Nikdo z mých četných matematických přátel nepřišel s tvrzením, že by matematické struktury, jež hrají zásadní roli v moderní fyzice (pseudoriemannovské variety, Calabiho–Yauovy variety, Hilbertovy prostory atd.), byly ve skutečnosti nekonzistentní.
Všechny tyto nejasnosti ohledně nerozhodnutelnosti a nekonzistence se týkají jenom matematických struktur s nekonečně mnoha prvky. V předchozí kapitole jsme viděli, že problém míry, jenž sužuje moderní kosmologii, se také vztahuje jenom na matematické struktury s nekonečným počtem prvků, což vyvolává provokativní otázku: Jsou nekonečna, nerozhodnutelnost, potenciální nekonzistence a problém míry opravdu vlastní skutečné podstatě reality, anebo to jsou pouhé přeludy, artefakty toho, že si zahráváme s ohněm a používáme mocné matematické nástroje, jež jsou vhodné spíše na hraní, než aby skutečně popisovaly náš vesmír? Konkrétněji: jak dobře musejí být matematické struktury definovány, aby byly reálné, tedy aby byly členy multiverza úrovně IV? V tomto ohledu se nabízí spousta zajímavých možností:

1.
Žádná struktura (tedy hypotéza matematického vesmíru je chybná).
2.
Konečné struktury. Ty jsou triviálně vyčíslitelné, protože všechny jejich relace můžeme definovat pomocí konečných tabulek.
3.
Vyčíslitelné struktury (jejichž relace jsou definovány skončenými výpočty).
4.
Struktury s relacemi definovanými výpočty, u nichž není zaručeno, že někdy skončí (mohou vyžadovat nekonečně mnoho výpočetních kroků), jako v případě H.
5.
Ještě obecnější struktury, jako třeba ty obsahující kontinuum, kdy je k popisu typických prvků potřebné nekonečné množství informací.

Tento text je úryvkem z knihy
Max Tegmark: Matematický vesmír
Argo a Dokořán 2016
O knize na stránkách vydavatele

obalka_knihy

Současná selekce a vývoj lidské populace

Rozhodně neplatí, že civilizace a kultura zpomalují biologickou evoluci, naopak: otevírají pro ni nové cesty …

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close