Sciencemag.cz
Doporučujeme
Je naprosto neškodné myslet na čísla jako sedm nebo čtyři sta a dokonce i na sedmdesát šest tisíc pět set dvacet dva. Ale co se stane, když si myslíte Grahamovo číslo? Na to myslet rozhodně neškodné není. Když nevhodným způsobem myslíte na Grahamovo číslo, zemřete. Zpětně vzato měl Johnny Ball svou show pojmenovat Myslete si číslo, které vás nezabije. V osmdesátých letech se prostě v Británii zdraví a bezpečnost nebraly tak vážně.
Nabízí se srovnat smrt Grahamovým číslem s osudem některých z lidí, které překvapila erupce Vesuvu v roce 79 n. l. Možná jste viděli vyobrazení těchto obětí v Pompejích: jejich poslední okamžik se zachoval v kamenné podobě, když je zabil žár pyroklastického popela, který je pak zasypal a navždy uchoval jejich podobu. A to byli ti šťastnější. V nedalekém Herculaneu a Oplontis se nalezly chmurné doklady ještě děsivějšího konce: zbytky zničených lebek roztržených prudkým varem mozkomíšní tekutiny. Tyto oběti zemřely, protože jim explodovala hlava.
Grahamovo číslo může vést k poškození mozku, které je ještě dramatičtější. Dojde k němu, když budete muset přemýšlet o jeho číslicích jedné po druhé – pokud bude vaše představivost bez varování vystavena jeho desetinné reprezentaci. Nějakou dobu necítíte nic neobvyklého, jen ta posloupnost čísel, která se vám odvíjí v mysli, je stále delší a delší – a pak to přijde.
Destrukce hlavy černou dírou.
Na Grahamovo číslo prostě nesmíte myslet, alespoň ne ve vší jeho obrovitánské nádheře. Je prostě moc velké na to, abyste se s ním vy nebo kdokoli jiný mohli potýkat. Není to otázka inteligence, ale fyziky. Když se budete snažit nacpat tolik informací do lidské hlavy, nevyhnutelně se zhroutí a změní se v černou díru. Jak uvidíme, černé díry představují horní hranici množství informací, které lze namačkat do daného objemu, a lidský mozek není zdaleka tak velký, aby se do něj veškerá informace obsažená v Grahamově čísle vešla. V tom je ten problém.
To číslo není jenom velké, je ohromné – mnohem větší než googol nebo googolplex, je větší i než googolplexian. Grahamovo číslo se všemi jeho ciframi nemůže existovat ve vaší hlavě, nebo v pozorovatelném vesmíru – nemůže existovat ani v googolplexovém vesmíru. Jeho decimální reprezentace prostě představuje příliš mnoho informací, než aby se do něj vešla.
…
V historii matematiky vyčnívá Grahamovo číslo jako skutečné monstrum, ale obávám se, že jeho vznešenost je ztracena v abstraktní definici. Abychom ho plně docenili, vrátíme se k fyzice, která nám vysvětlí, proč by nás takhle velké číslo dokázalo zabít.
…
Proč je Grahamovo číslo tak nebezpečné? Proč by se naše hlava měla zhroutit v černou díru, kdybychom si začali představovat jeho dekadickou podobu?
Ukazuje se, že v takovém zobrazení Grahamova čísla je skryta entropie – spousta entropie –, a kdykoliv se snažíte nacpat příliš mnoho entropie do příliš malého prostoru, nevyhnutelně to vede ke vzniku černé díry. Možná to vypadá divně, že by číslo mohlo mít entropii tak jako vejce nebo triceratops, ale entropie je blízce spojená s informací a Grahamovo číslo nepochybně informaci obsahuje. Kdybych vám sdělil jeho poslední číslici, vaše vědomosti by se o něco zvětšily. Kdybych vám dokázal odříkat celou jeho dekadickou podobu, vaše hlava by se pokusila schroustat příšernou spoustu informací. Příjem takové spousty informací do omezeného prostoru může skončit jen jedním způsobem: destrukcí hlavy černou dírou.
…
Jde o myšlený experiment, jehož autorem je neuvěřitelně kreativní americký fyzik Leonard (Lenny) Susskind. Šlo mu o to, aby ukázal, že černé díry představují horní hranici pro množství entropie, které je možno v omezeném prostoru mít. Vezměte nějaký objekt – kosmickou loď, triceratopse nebo jenom vajíčko – a zcela ho uzavřete do nejmenší koule, jakou se vám podaří vytvořit. Susskind ukázal, že entropie objektu nemůže být větší než entropie černé díry, jejíž horizont událostí splývá s touto koulí. V našem příběhu se vesmírná loď právě vešla do kulové slupky o průměru 3 metry. Mimozemšťané pak ukázali, že entropie lodi je shora omezená entropií černé díry o témž poloměru.
Susskindův výsledek můžeme aplikovat na lidskou hlavu. Chceme-li najít maximální množství informací, které pojme lidský mozek, stačí vypočítat entropii černé díry velikosti hlavy. Pokud byste se pokusili tuto hranici překročit – pokud byste se pokusili do omezeného objemu vašeho mozku nacpat příliš mnoho dat –, můžete se spolehnout, že se hlava gravitačně zhroutí. Stanete se nejnovější obětí destrukce hlavy černou dírou.
…
Jaké je maximum? Zaměřil jsem se na vlastní hlavu, která má podle mého odhadu poloměr zhruba 11 cm. Když použijeme Hawkingův vzorec, dojdeme k tomu, že černá díra o stejném poloměru má obrovskou entropii, která je ekvivalentní 10 na 58 (10 miliard bilionů bilionů bilionů bilionů) gigabytů informace. To je tedy maximální množství informací, které by se kdy daly uložit v prostoru o velikosti mé hlavy. Srovnejte to s hadronovým urychlovačem v CERNu, strojem, který s požitkem produkuje až nemravně mnoho dat. Ten za celý rok vytvoří jen asi 10 milionů gigabytů informací. Ale ani 10 na 58 gigabytů zdaleka nestačí na zobrazení Grahamova čísla.
A co vaše hlava? Zvládla by to lépe? Každá lidská hlava má zhruba stejný maximální objem informací – kolem 10 na 58 gigabytů. Samozřejmě, ničí hlava takové obrovské množství informací neuloží, rozhodně ne živá. Nezapomeňte, že informace něco váží, takže abychom se aspoň přiblížili této maximální hodnotě, hmotnost hlavy by se zvětšila na víc než desetinásobek hmotnosti Země. Jak by vzrůstal počet uložených dat, vzrůstal by vnitřní tlak a hrozivě by rostla i teplota. Hlava by explodovala. Přežití je nemyslitelné.
Ale nenechme se smrtelností odradit od našeho myšleného experimentu. Představte si, že vaše neživé tělo a to, co zbývá z vaší hlavy, odvezou přátelé někam do neprobádaných hlubin mezihvězdného prostoru. Tam, daleko od slídivých zraků, budou podle vašeho přání sypat do hlavy další a další číslice Grahamova čísla. Když se jim nějak podaří udržet ve vaší hlavě dostatek dat, nakonec dosáhnou oné limitní hodnoty 10 miliard bilionů bilionů bilionů bilionů gigabytů. V té chvíli už tam nebude hlava, ale miniaturní černá díra. Když chcete uložit tolik dat do tak malého objemu, černá díra je jediný objekt, který je pojme.
Tělo rovněž zmizí. Nemůže přežít kontakt s tak blízkou černou dírou. Není moc objektů, které by to přežily. Možná si myslíte, že když ta černá díra je tak mrňavá, nebude tak destruktivní. Ale nezapomínejte, že to, co bývala hlava, má teď hmotnost desíti zeměkoulí. Gravitační působení takovéhoto objektu bychom neměli podceňovat. Když jde o černé díry, měli bychom se mít na pozoru právě před těmi malými. Černá díra rozměru lidské hlavy je daleko nebezpečnější než Pówehi, obří černá díra, o níž jsme mluvili na konci kapitoly „1,000 000 000 000 000 858“.
Když je černá díra tak malá, tak všechno, co je na dosah horizontu událostí, je zároveň příliš blízko singularity a gravitační síly to zákonitě rozervou. Na roztrhání lidského těla stačí síly kolem 10 000 newtonů. Na okraji černé díry velikosti hlavy by lidské tělo bylo vystaveno síle víc než bilionkrát větší.
Tento text je úryvek z knihy
Antonio Padilla: Fantastická čísla a kde je nalézt
Kosmická výprava od nuly k nekonečnu
Argo a Dokořán 2024
O knize na stránkách vydavatele
Zajímavá úvaha. Ovšem nemusíme chodit tak daleko. Stačí se pokusit v hlavě zobrazit obyčejné π. To je v desetinném rozvoji nekonečné a představuje tak nekonečné množství informace. Ještě si uveďme vzorec pro minimální energii informace
E=I.(kT.ln(2))
Nechce se tomu věřit, ale zaplněný pevný disk v počítači je o něco těžší.