Pixabay License

Horská dráha a Möbiova páska

Jízdu na horské dráze zbožňuju. Nejde mi ale jen o vzrušení. Jsem blázen do matematiky a vzrušuje mě všechna ta geometrie a kalkulus, jež se podílely na konstrukci atrakce, na níž je všechno napnuto na samý kraj možného, a souprava vozíků se přitom pevně drží v dráze. V Británii máme jednu horskou dráhu, která dovede mou matematickou krev rozproudit rychleji než kterákoli jiná: Grand National v Blackpoolu. Když se po ní řítíte, zakoušíte na vlastní kůži nejen moc kalkulu, ale i jeden z nejpozoruhodnějších tvarů z matematického kabinetu kuriozit, totiž Möbiovu pásku.
Jak název této atrakce naznačuje, Grand National – pojmenovaná podle slavného liverpoolského dostihu – je závod mezi dvěma jízdními soupravami. Když nastoupíte do vozíku, vyjedete po jedné ze dvou paralelních drah. Jezdci na obou sadách kolejí jsou od sebe vzdáleni na dosah ruky, projíždějí vedle sebe všemi zákrutami, oblouky a místy pojmenovanými podle nejproslulejších překážek dostihové dráhy. Když ale obě soupravy finišují do cíle, ukáže se něco zvláštního – každá z nich skončí na nástupišti, z něhož vyjížděla ta druhá! To je docela podivné. Obě soupravy nikdy nevjedou na stejnou kolej a nikdy si vzájemně nezkříží cestu. Jak to jenom konstruktéři udělali?
Celé se to stane na místě pojmenovaném podle pověstného skoku Becher’s Brook, kde jedna kolej přejíždí nad druhou. Zde si obě koleje vymění strany, takže na konci jízdy soupravy přijíždějí na opačná nástupiště.
A tento jednoduchý trik, jaký vidíme na Becher’s Brook, je také klíčem k Möbiově pásce, krásnému matematickému tvaru, který je základem designu blackpoolské atrakce. Chceme-li si sestrojit vlastní Möbiovu pásku, vystřihněme si dlouhou papírovou pásku širokou asi 2 centimetry. Udělejme z ní kruh, než ale oba konce spojíme, otočme jeden konec o 180 stupňů. Když si představíme, že tento pruh papíru vede mezi oběma kolejemi dráhy Grand National, pak se na Becher’s Brook tato páska otočí o 180 stupňů, protože tam se obě koleje mimoúrovňově překříží a před koncem jízdy se znovu seřadí vedle sebe v opačném pořadí.
Möbiova páska má některé velmi podivuhodné vlastnosti. Má například jen jeden okraj. Přiložme na její okraj prst a přejíždějme po něm. Takto přejedeme každým bodem okraje. Znamená to, že horská dráha v Blackpoolu je ve skutečnosti jen jedna dvojnásobně dlouhá dráha, nikoli dvě dráhy vedle sebe. Nicméně to, co všechny horské dráhy potřebují nejvíce, je rychlost!

Chceme-li, aby horská dráha byla rychlejší, pomůže nám s tím nejlépe znovu kalkulus. V tom vlastně spočívá řešení úkolu, který jsme si předložili na počátku kapitoly. Máme-li na vertikální rovině dva body A a B, jak bude vypadat dráha, po níž těleso, na něž bude působit pouze gravitace, urazí cestu z A do B za nejkratší čas?
To byl problém, který jako první nastolil nikoli konstruktér zábavního parku, ale švýcarský matematik Johann Bernoulli v roce 1696. Předložil jej jako výzvu dvěma velkým mozkům své doby, svému příteli Leibnizovi a jeho anglickému rivalovi Newtonovi:

Já, Johann Bernoulli, tímto oslovuji nejvýtečnější matematiky světa. Pro inteligentního člověka není nic lákavějšího než poctivý obtížný problém, jehož vyřešení mu propůjčí slávu a zůstane po něm jako jeho trvalá památka. Následuji příkladu Pascala, Fermata a dalších a od toho, že nejlepším matematikům naší doby předkládám úkol, který prověří jejich metody a sílu jejich intelektu, si slibuji vděk celé vědecké obce. Pakliže mi někdo sdělí řešení předloženého problému, veřejně prohlásím, že si zaslouží chválu.

Bernoulli předložil úkol najít tvar rampy, která by dostala kouli z horního bodu A do spodního bodu B nejrychlejším možným způsobem. Možná si pomyslíte, že nejrychlejší bude přímá spojnice mezi oběma body. Nebo možná převrácená parabola, jakou dostaneme, když kouli hodíme vzduchem. Ve skutečnosti to není jedna ani druhá. Ukázalo se, že nejrychlejší dráhu vytyčuje křivka zvaná cykloida – dráha vyznačená bodem na vnějším okraji kola, které jede po rovném podkladu.

Nejrychlejší cestu, jak se dostat z A do B, vytyčuje převrácená podoba cykloidy. Tato křivka sestoupí pod úroveň cílového bodu, nabere tím větší rychlost a tu pak použije ke konečnému výstupu do cíle; takto se tam koule dostane dříve než po jakékoli jiné křivce.

Tento text je úryvkem z knihy
Marcus du Sautoy
Umění zkratky. Jak lépe myslet
Dokořán 2023
O knize na stránkách vydavatele
obalka-knihy

autor Continentaleurope, zdroj: Wikipedia, licence obrázku GFDL

Falzifikovatelnost není žádná posvátná kráva

Filozofové říkají hodně o tom, co je pro vědu absolutně nezbytné, a zatím to všechno …

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close