Sciencemag.cz
Doporučujeme
Henry Ernest Dudeney (1857-1930) byl anglický matematik a specialista na rekreační matematiku/matematické hry a hlavolamy. V roce 1907 přišel s problémem, jak libovolný rovnostranný trojúhelník rozřezat na co nejmenší počet dílků, aby jejich přeuspořádáním vznikl čtverec. Sám Dudeney následně přeložil řešení, že to vždy lze provést rozdělením na 4 díly – viz obrázek výše.
Zůstávala ovšem otevřená otázka, zda by nestačilo i méně částí. K tomu snad ještě stojí za to dodat, že dílky se nesmí převracet a používat je jako zrcadlové obrazy (poznámka PH: i když není jasné, jak toto omezení mění výsledek). Lze je otáčet a posunovat pouze v rovině.
Ryuhei Uehara, Tonan Kamata (oba Japan Advanced Institute of Science and Technology) a Erik D. Demaine (MIT) nyní dokázali, že Dudeneyho původní řešení bylo optimální. Alespoň to autoři důkazu tvrdí, dosud byl publikován pouze na arXiv (preprint). Zvolená technika je označena jako odpovídající si (matching) diagramy.
Autoři studie vyloučili nejprve možnost rozdělení na dva dílky analýzou geometrických omezení problému.
Co se týče vyvrácení možnosti, že by mohlo stačit rozřezání na 3 díly, průvodní tisková zpráva uvádí následující: pomocí nové metody je množina rozřezaných dílků použitých při rozřezu (dissection) redukována na grafovou strukturu, která zachycuje vztah mezi hranami a vrcholy dílků, tvořících trojúhelník i čtverec. Vědci zjistili, že tato metoda je použitelná nejen pro Dudeneyho hlavolam, ale lze ji obecně aplikovat i na jiné problémy disekce.
Pro lepší pochopení postupu má sloužit i následující obrázek, ilustrující použitou metodu:
Po odstranění řezných čar, které nevytvářejí jednoduché mnohoúhelníky, má získaný výsek stejný nebo menší počet dílků. Kredit: arXiv (2024). DOI: 10.48550/arxiv.2412.03865
(PH: Je zde vidět souvislost s grafy, snad jakási ilustrace obecného postupu, kdy vylučujeme jednotlivá uspořádání. Že by mi to ale z toho bylo jasné…)
Celé je to hříčka, i když v principu problémy tohoto typu zajímají nejen matematiky, ale mají také praktické využití v oborech, jako je textilní návrhářství, strojírenství a výroba (poznámka PH: často spíš tak, že se při hledání „čistého“ řešení zjistí, že existuje i nějaké jiné řešení „dostatečně dobré“ pro praktické účely a navíc jednodušší apod.).
Erik D. Demaine et al, Dudeney’s Dissection is Optimal, arXiv (2024). DOI: 10.48550/arxiv.2412.03865
Zdroj: Japan Advanced Institute of Science and Technology / Phys.org, přeloženo / zkráceno
