(c) Graphicstock

Když čtyři barvy nestačí: mapy na kouli a na toru

P. J. Heawood se zabýval zobecněním problému čtyř barev na mapy na složitějších plochách. Na povrchu koule je řešení problému stejné jako v rovině. Představte si, že máte mapu na povrchu koule, a pootočte ji tak, aby se severní pól ocitl někde uprostřed jedné z oblastí. Když odříznete severní pól, můžete propíchnutou kouli rozevřít, a dostanete plochu, která je topologicky ekvivalentní rovině. Oblast, která obsahuje pól, bude nekonečně velká a bude obklopovat zbytek mapy.

Existují ale zajímavější plochy, jako je třeba torus, který má tvar koblihy s dírou uprostřed, a dále povrchy, které mají takových děr i více. Existuje způsob, jak plochu toru zobrazit, aby byl pohyb po ní názornější. Když rozřízneme torus podél dvou uzavřených křivek, můžeme ho rozvinout do čtverce. Tato transformace změní topologii toru, ale s tím se můžeme vypořádat, když budeme odpovídající body na protilehlých stranách považovat za identické. Proč je to výhodné? Problém barev nyní nemusíme zkoumat přímo na toru, ale můžeme ho zkoumat na tomto čtverci – stačí brát v úvahu pravidlo, že protilehlé body na stranách jsou identické. Když na toru namalujeme libovolnou křivku, můžeme k ní jednoznačně sestrojit odpovídající křivku na čtverci, který torus reprezentuje.
Heawood dokázal, že sedm barev je nutných a postačujících, aby bylo možno na toru vybarvit libovolnou mapu. Na obrázku vidíme na čtverci reprezentujícím torus, že sedm barev je nutných. Všimněme si, že barvy na ekvivalentních úsecích hraničních oblastí jsou stejné, jak to reprezentace toru vyžaduje.


Obr.: Mapa na toru, která vyžaduje k obarvení sedm barev.
autor obrázku: Sebastian Kostal, zdroj: Wikipedia, licence obrázku public domain

Viděli jsme, že existují povrchy podobné toru, ale s více otvory. Počet otvorů se nazývá genus a označujeme ho g. Heawood odvodil vzorec pro počet barev nutných pro vybarvení mapy na toru s g otvory, kde g ≥ 1: je to největší přirozené číslo, které je menší nebo rovno výrazu

[7 + √ (48 + 1)] / 2

Když g probíhá od 1 do 10, dostáváme z tohoto vzorce čísla
7 8 9 10 11 12 12 13 13 14.
Heawood svůj vzorec odvodil zobecněním svého důkazu věty o 5 barvách potřebných v rovině. Uměl dokázat, že počet barev udávaných jeho vzorcem pro libovolný povrch je vždycky dostačující. Mnoho let bylo velkým nevyřešeným problémem, jestli čísla vycházející z jeho vzorce jsou skutečně ta nejmenší nutná, ačkoli příklady pro malá g naznačovaly, že Heawoodův odhad je nejlepší možný. Po časově náročném studiu tohoto problému Gerhard Ringel a John W. T. (Ted) Youngs doplnili v roce 1968 detaily v Heawoodově důkazu a ukázali, že lepší odhad neexistuje. Vycházeli přitom z vlastních prací a z prací řady dalších matematiků. Jejich metoda je založena na speciálním typu sítí a je natolik složitá, že vystačila na celou knihu.

 

Tento text je úryvkem z knihy
Ian Stewart: Neuvěřitelná čísla profesora Stewarta
Argo a Dokořán 2019
O knize na stránkách vydavatele

obalka_knihy

Jak matematicky vytvořit „vědomí já“

Neuron je obvykle spojen s desítkami až tisíci jiných neuronů. Tranzistory v počítači naproti tomu …

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close