Sciencemag.cz
Doporučujeme
Představme si, že by inteligence nepřebývala v lidech, ale v osamocené medúze, ponořené v hlubinách.
Ti, kdo věří, že matematika existuje v nějakém vesmíru nezávislém na člověku, se ještě co do názoru na povahu onoho vesmíru dělí do dvou různých táborů. V prvním jsou „opravdoví“ platonici, podle nichž matematika dlí v abstraktním a věčném světě matematických forem. Pak jsou ti, kdo říkají, že matematické struktury jsou reálnou součástí našeho světa. Jelikož o čistém platonismu a některých jeho filozofických vadách jsme již poměrně rozsáhle mluvili, podívejme se teď na onen druhý pohled.
Nejkrajnější a nejspekulativnější verzi scénáře „matematika jako součást fyzického světa“ zastává můj kolega astrofyzik Max Tegmark z Massachusettského technologického institutu (MIT).
Tegmark tvrdí, že „náš vesmír není matematikou pouze popisován – on matematikou je“ [zvýraznil autor]. Jeho argumentace vychází ze vcelku bezesporného předpokladu o existenci vnější a na lidech nezávislé fyzické reality. Tegmark pak pokračuje uvažováním nad tím, jak by mohla vypadat základní a konečná teorie takovéto reality (to, o čem fyzikové mluví jako o „teorii všeho“). Protože fyzický svět je na lidech zcela nezávislý, usuzuje Tegmark, jeho adekvátní popis nesmí obsahovat žádný lidský „balast“ (zejména například lidský jazyk). Jinak řečeno, konečná teorie nemůže zahrnovat žádné pojmy a koncepty jako „subatomární částice“, „vibrující struny“, „zakřivený časoprostor“ a jiné lidmi formulované konstrukty. Z tohoto předpokladu Tegmark vyvodil, že jediný možný popis kosmu je takový, který bude tvořen pouze abstraktními pojmy a vztahy mezi nimi, což je podle něj pracovní definice matematiky.
Tegmarkův argument ve prospěch existence matematické reality je jistě zajímavý, a pokud by byl pravdivý, pak bychom mohli podstatně pokročit v řešení problému „nepochopitelné účinnosti“ matematiky. Ve vesmíru ztotožněném s matematikou by skutečnost, že matematika padne na přírodu tak dokonale jako rukavice na ruku, neměla být žádným překvapením. Bohužel mi ale Tegmarkův postup uvažování nepřipadá příliš přesvědčivý. Skok od existence vnější reality (nezávislé na lidech) k úsudku, že Tegmarkovými slovy, „musíme věřit v to, co nazývám hypotézou matematického vesmíru: že naše fyzická realita je matematická struktura“, skrývá podle mého názoru lstivou eskamotáž. Když se Tegmark pokouší charakterizovat, jaká matematika vlastně je, říká: „Pro moderního logika je matematická struktura právě toto: množinou abstraktních struktur, mezi nimiž jsou určité vztahy.“ Jenomže ten moderní logik je přece člověk! Jinými slovy, Tegmark ve skutečnosti vůbec nedokazuje, že naše matematika není vymýšlena lidmi; prostě to jen předpokládá. Francouzský neurobiolog Jean-Pierre Changeux navíc v odpovědi na podobné tvrzení poukázal: „Uplatňovat u matematických objektů nárok na fyzickou existenci na úrovni přírodních jevů, jaké studujeme v biologii, podle mě představuje určitý epistemologický problém. Jak může nějaký fyzický stav uvnitř našeho mozku reprezentovat jiný fyzický stav mimo něj?“
Většina ostatních pokusů o umístění matematických objektů přímo do vnější fyzické reality spoléhá na jeden důkaz – účinnost matematiky v objasňování přírody. To ovšem předpokládá, že žádné další vysvětlení účinnosti matematiky není možné, a to, jak ještě ukážu, není pravda.
Jestliže matematika nepřebývá ani v bezprostorovém a bezčasém platónském světě, ani ve světě fyzickém, znamená to tedy, že matematiku beze zbytku vymýšlejí lidé? Rozhodně ne. V dalších pasážích si naopak ukážeme, že většina matematiky skutečně sestává z objevů. Než se však dostaneme dále, bude prospěšné nejprve prozkoumat některé názory současných kognitivních vědců. Důvod pro to je jednoduchý – i kdyby byla matematika stoprocentně jen objevována, tyto objevy by stále byly dílem lidí a jejich mozků.
Díky enormnímu pokroku kognitivních věd v posledních letech bylo jen otázkou času, kdy neurobiologové a psychologové zaměří pozornost na matematiku, zvláště na pátrání po základech matematiky v lidském poznání. Zběžný pohled na poznatky většiny kognitivních vědců v nás zpočátku mohou zanechat dojem, že před sebou máme obdobu bonmotu Marka Twaina – „když nemáte po ruce nic jiného než kladivo, připadá vám kdeco jako hřebík“. V podstatě všichni neuropsychologové a biologové s drobným odchylkami v důrazech docházejí k závěru, že matematika je lidský vynález. Po bližším zkoumání však zjistíme, že zatímco interpretace údajů těchto věd má daleko do jednoznačnosti, není pochyb, že úsilí kognitivních věd představuje v pátrání po základech matematiky zcela novou fázi. Můžeme si zde předložit malý, ale reprezentativní vzorek vyjádření kognitivních vědců.
Francouzský neurovědec Stanislas Dehaene, jehož hlavní oblastí zájmu je rozpoznávání čísel, v knize The Number Sense (Smysl čísel) z roku 1997 došel k závěru, že „intuice čísel je hluboce zakotvena v našem mozku“. Tento postoj je vlastně blízký pozici intuicionistů, kteří chtěli založit veškerou matematiku na čisté intuici přirozených čísel. Dehaene uvádí, že objevy v psychologii aritmetiky potvrzují, že „číslo náleží k ´přirozeným objektům myšlení´, ke vrozeným kategoriím, v jejichž rámci chápeme svět“. Po studiu izolovaného kmene amazonských domorodců Mundurukú Dehaene se svými spolupracovníky rozšířil svou myšlenku i na geometrii: „To, jak toto vzdálené lidské společenství spontánně rozumí geometrickým konceptům a mapám, je důkazem, že základní geometrické znalosti stejně jako základní aritmetika je univerzální součástí lidské mysli.“ Ne všichni kognitivní vědci s tímto závěrem souhlasí. Někteří například upozorňují, že úspěchy lidí Mundurukú v úkolech, kde měli určit křivku mezi rovnými čarami, obdélník mezi čtverci, elipsu mezi kruhy a tak dále, souvisely spíše s jejich vizuální schopností určit něco, co se odlišuje, než s vrozenými geometrickými poznatky.
Neurobiolog Jean-Piere Changeux, který byl spolu s matematikem platónského „přesvědčení“ Alainem Connesem účastníkem úchvatného dialogu o povaze matematiky shrnutém v knize Conversations on Mind, Matter, and Mathematics (Rozhovory o mysli, hmotě a matematice), přišel s následujícím postřehem:
Příčina toho, proč matematické objekty nemají nic společného s vnímatelným světem, souvisí … s jejich reprodukčním charakterem, jejich schopností plodit další objekty. Je nutné zde zdůraznit, že v mozku existuje něco, co se dá nazvat „oddělení pro vědomí“, fyzické místo pro napodobování a vytváření nových objektů… V určitých ohledech jsou tyto nové matematické objekty něčím jako živými bytostmi: stejně jako živé bytosti to jsou fyzické objekty, které podléhají velmi rychlému vývoji; na rozdíl od živých bytostí se ale vyvíjejí v našem mozku.
Nejkategoričtější tvrzení k dilematu mezi vymýšlením a objevováním pronesli kognitivní lingvista George Lakoff a psycholog Rafael Núñez v poněkud kontroverzní knize Where Mathematics Come From (Odkud pochází matematika). Jak jsme již uvedli v první kapitole, prohlásili zde:
„Matematika je přirozenou součástí lidské existence. Pochází z našich těl a mozků a z našich každodenních zkušeností se světem. [Lakoff a Núñez proto o matematice říkají, že vychází z „vtělené mysli“]… Matematika je systém lidských konceptů, který dokáže mimořádně využít běžné nástroje lidského poznání… O vytvoření matematiky se zasloužili lidské bytosti a my také odpovídáme za to, abychom ji udržovali a obohacovali. Na portrétu matematiky rozeznáváme lidskou tvář.
Kognitivní vědci zakládají své závěry na (podle nich) přesvědčivém souboru důkazů, které dodaly výsledky řady experimentů. Mezi těmito pokusy jsou například výzkumy funkčního zobrazování mozku během provádění matematických úkonů. Jiné experimenty prověřovaly matematickou způsobilost nemluvňat, skupin lovců a sběračů jako kmene Mundurukú, jejichž příslušníci nikdy nezažili školní výuku, a lidí s různým stupněm poškození mozku. Většina badatelů se shoduje, že určité matematické schopnosti jsou podle všeho vrozené. Kupříkladu všichni lidé jsou schopni na první pohled rozlišit, zda před sebou mají jeden, dva, nebo tři objekty (schopnost nazývaná subitizing podle latinského subitus čili náhlý, okamžitý). Vrozená je možná i velmi omezená verze aritmetiky v podobě seskupování, párování a velmi jednoduchého sčítání a odečítání, podobně jako zřejmě i velmi základní chápání geometrických struktur (což je ovšem poněkud spornější tvrzení). Neurovědci rovněž určili v mozku oblasti, například angulární gyrus, obloukovitý závit šedé kůry v levé hemisféře, které jsou zřejmě nepostradatelné při manipulacích s čísly a pro matematické výpočty, a jež přitom nemají podstatný význam pro jazykové schopnosti ani pracovní paměť.
Podle Lakoffa a Núñeze je hlavním nástrojem pro pokročení za tyto vrozené schopnosti budování takzvaných konceptuálních metafor – myšlenkových postupů, které převádějí abstraktní koncepty do konkrétnější podoby. Například koncepce aritmetiky je založena na velmi základní metafoře souboru objektů. Naopak Booleova abstraktnější algebra tříd metaforicky spojila třídy s čísly. Propracovaný scénář vyvinutý Lakoffem a Núñezem předkládá zajímavé pohledy na to, proč lidé pokládají některé matematické koncepty za obtížnější než jiné. Jiní badatelé, například kognitivní neurovědkyně Rosemary Varleyová z Sheffieldské univerzity, naznačují, že minimálně některé matematické struktury parazitují na jazykové schopnosti – matematické chápání se podle nich vyvíjí tím, že si půjčuje nástroje vyvinuté původně k ovládnutí jazyka.
Kognitivní vědci tedy předložili hodně silné argumenty ve prospěch spojitosti matematiky s lidskou myslí a v neprospěch platonismu. Zajímavé však je, že zřejmě nejpádnější argument proti platonismu nepřišel od neurobiologů, ale od sira Michaela Atiyaha, jednoho z největších matematiků 20. století. O jeho linii uvažování jsme se již krátce zmínili v první kapitole, teď si však jeho myšlenky probereme podrobněji.
Kdybyste si mohli tipnout, u kterého matematického konceptu je nejpravděpodobnější, že jeho existence je nezávislá na lidské mysli, který by to byl? Většina lidí by pravděpodobně usoudila, že by to byla přirozená čísla. Co už může být „přirozenější“ než čísla 1, 2, 3, …? Dokonce i německý matematik s intuicionistickými sklony Leopold Kronecker (1823–1891) ve svém slavném výroku prohlásil: „Bůh stvořil přirozená čísla, vše ostatní je dílem člověka.“ Kdyby tedy někdo prokázal, že i původ přirozených čísel jakožto konceptu lze nalézt v lidském mozku, byl by to ohromný argument ve prospěch teorie „vytváření“. Ukažme si opět, jak argumentuje Atiyah: „Představme si, že by inteligence nepřebývala v lidech, ale v nějaké obrovské, osamocené a izolované medúze, ponořené v hlubinách Tichého oceánu. Ta by se nikdy nesetkala s jednotlivými objekty a znala by pouze vodu, která ji obklopuje. Jejími základními smyslovými údaji by byl pohyb, teplota a tlak. V takovém čistém kontinuu by nemohla vzniknout nespojitost, a neexistovalo by tak nic, co by se dalo počítat.“ Jinak řečeno, Atiyah je přesvědčen, že i koncept tak základní jako přirozená čísla byl stvořen lidmi pomocí abstrakce (kognitivní vědci by řekli „pomocí základních metafor“) prvků fyzického světa. Například číslo 12 reprezentuje zobecnění vlastnosti, jež je společná všem věcem, které přicházejí po tuctech – podobně jako slovo „myšlenky“ zastupuje celou škálu procesů, které se odehrávají v našem mozku.
Čtenáři mohou protestovat proti argumentaci, která používá hypotetické světy typu prostředí obří medúzy. Mohou namítat, že existuje pouze jediný nám známý vesmír a že každá hypotéza by měla být zkoumána v kontextu tohoto vesmíru. To však bychom museli připustit, že koncept přirozených čísel je ve skutečnosti určitým způsobem závislý na vesmíru lidské zkušenosti! Přesně to měli na mysli Lakoff a Núñez, když říkali, že matematika je „vtělená“.
Právě jsem argumentoval ve prospěch názoru, že koncepty naší matematiky vznikají v lidské mysli. To ovšem jistě vyvolá u čtenářů otázku, proč jsem před chvíli tvrdil, že většina matematiky je ve skutečnosti objevována, což je postoj, který vypadá blíže názoru platoniků.
Tento text je úryvkem z knihy
Mario Livio: Je Bůh matematik?
Argo a Dokořán, 2017 (nové vydání)
O knize na stránkách vydavatele
Další úryvek z knihy:
Dvě tváře síly matematiky: aktivní a pasivní
Matematika je software. A algoritmus tohotovzniklpredvelkym treskem, ale jak a kdo nebo co….