Sciencemag.cz
Doporučujeme
Některé soubory, třeba průměrnou výšku lidí, můžeme dobře popsat pomocí normálního rozdělení. Řada jiných jevů se však řídí zákony mocninnými.
Příkladem mocninných zákonů je třeba Zipfův zákon, udávající frekvenci určitého výrazu v přirozeném jazyce nebo třeba průměrná doba trvání jednoho biologického druhu. Na jeden druh žijící řekněme 100 milionů let připadají dva druhy trvající 50 milionů let, 10 druhů trvajících 10 milionů let atd. Existuje jen velmi málo druhů, které přežívají dosti dlouho, a velmi mnoho druhů, které žijí jen krátce. Kdyby se stejně řídila výška lidí, pak by (např.) všude kolem nás chodili lidé vysocí třeba metr padesát, zatímco občas bychom naopak narazili na člověka vysokého pět metrů. Pro mocninné rozdělení sice můžeme počítat nějaké střední hodnoty („průměrná doba trvání druhu“), ale ty nebudou rozhodně nejfrekventovanější jako u vrcholu Gaussovy křivky. Největší frekvence bude u malých hodnot.
Klíčové je, že mocninné rozdělení není (jak by se mohlo zdát) totožné ani jen s jednou z větví Gaussovy křivky. Zatímco křivka normálního rozdělení klesá exponenciálně, mocninná křivka mnohem pomaleji. I proto má smysl výše uvedený příklad s výškou lidí (v případě mocninné závislosti by bylo mnohem snazší narazit na výšku skutečně extrémní než u poloviny Gaussovy křivky od střední hodnoty).
Zajímavé je, že protiklad mezi mocninnými závislostmi a normálním rozdělením se někdy dává do souvislosti s uspořádaností systému. Normální rozdělení má být chaotické, systémy odpovídající mocninným křivkám mají mít nějakou vnitřní strukturu (ekosystém, lidský jazyk apod.), obecně zajímavější vlastnosti. Přechod mezi oběma matematickými popisy pak má odpovídat fázovému přechodu, třeba zmrznutí vody v uspořádaný led.
Barabási uvádí, že v řadě sítí (typu internetu) jsou to právě mocninné závislosti, které umožňují vznik většího množství center (takže např. 20 procent webových stránek navštěvuje pravidelně 80 procent uživatelů – Gaussova křivka by provedla mnohem rychlejší „useknutí“, při kterém by často navštěvované stránky byly extrémně vzácné). Právě fakt, že síť se řídí mocninnými zákonitostmi, je zřejmě činí nějak zajímavou.
Otázkou ale zůstává, kde se mocninná závislost na internetu (či v jiných sítích tohoto typu) vzala? Došlo k nějakému fázovému přechodu a pokud ano, pak kdy? Barabási se domnívá, že nikoliv – k tomu, aby se síť chovala podle mocninného zákona, stačí aby:
– rostla
– nové uzly se nepřipojovaly náhodně, ale preferenčně – k těm, které už mají více vazeb (tedy k těm starším). Princip „bohatí bohatnou a chudí chudnou“ pak umožňuje, že na internetu vznikají nějaká centra a je jich více než minimum.
Obě podmínky jsou nutné, ale zřejmě také postačující – další fázové přechody v této souvislosti není podle Barabásiho třeba předpokládat. „Sítě nejsou na přechodu mezi pořádkem a nepořádkem a ani nebalancují na hraně náhodnosti nebo chaosu.“
Poznámka: Samozřejmě, že na internetu mohou fakticky uspět i služby, které přijdou později (Google). Do modelu je za tímto účelem kromě preferenčního připojování zařadit ještě nějakou obdobu „zdatnosti“.
Zdroj: Albert-László Barabási: V pavučině sítí, Paseka, 2005 a další
