Sciencemag.cz
Doporučujeme
V šestém století před Kristem napsal jistý Sun-c‘ velký čínský manuál vojenské strategie, nazvaný Umění války. Má třináct kapitol, z nichž každá se zabývá určitým aspektem vedení vojenských operací, a velitelé ozbrojených sil z něj čerpají dodnes. Kniha Umění války byla údajně povinnou četbou důstojníků CIA i KGB, ale učí se z ní i vyjednavači, ředitelé firem a sportovní trenéři. Shrnuje veškerou starověkou tradici a strategickou moudrost vojenské velmoci.
Je s podivem, že nebyl napsán moderní profesionální manuál, jenž by pokročil dále, totiž ke kvantitativní analýze vojenské strategie. Teprve talentovaný viktoriánský inženýr Frederick Lanchester se pustil do hledání matematického popisu (později označovaného jako „operační analýza“) nejúčinnějšího způsobu, jímž lze vykonat sled navazujících úloh. A tak vstoupily matematické náhledy na válečná bojiště. (Lanchester si ovšem našel čas i k tomu, aby postavil jedno z prvních aut na benzín, vynalezl posilovač řízení a kotoučové brzdy.)
V roce 1916 uprostřed první světové války sestavil několik jednoduchých rovnic k popisu konfliktu mezi dvěma armádami. Jeho rovnice navzdory své jednoduchosti odhalily řadu překvapujících skutečností o vedení války a vojenští stratégové je berou v úvahu dodnes. Ve zpětném pohledu lze konstatovat, že se jimi intuitivně řídili i velcí stratégové minulosti, třeba Nelson a Wellington. Na stejných zásadách by měli stavět tvůrci populárních válečných her, ať již deskových nebo počítačových.
Lanchester navrhl jednoduchý matematický popis bitvy mezi dvěma armádami, jimž říkejme Dobří (kteří mají D bojových jednotek) a Zlí (mají Z bojových jednotek). Bojovými jednotkami mohou být například vojáci, tanky či děla. Začneme počítat čas t od počátku boje, tedy od nulté hodiny t = 0. Chceme vědět, jak se počty jednotek D(t) a Z(t) mění během boje v závislosti na rostoucím čase. Pokud D (nebo Z) bojových jednotek zničí d (nebo z) jednotek nepřítele, pak d a z měří bojovou efektivitu příslušných stran. Předpokládejme, že rychlost ničení jednotek každé strany je úměrná počtu jednotek nepřítele a jejich účinnosti. To znamená, že:
dZ/dt = –dD
a
dD/dt = –zZ
Vydělíme-li jednu rovnici druhou, pak integrací snadno získáme důležitý vztah:
zZ2 – dD2 = C
kde C je konstanta.
Tento jednoduchý vzorec je nesmírně poučný. Ukazuje, že celková bojová síla každé strany je úměrná čtverci počtu jednotek, jimiž tato strana disponuje, ale závisí pouze lineárně na jejich efektivitě. Museli bychom zečtyřnásobit efektivnost každého vojáka či kusu zařízení, abychom vykompenzovali dvojnásobnou početní převahu nepřítele. Velké armády jsou zkrátka lepší. Je-li naší strategií rozbít síly protivníka na menší skupiny a zabránit jim spojit se, pak jsme zvolili velmi dobrou taktiku. Přesně to učinil Nelson v bitvě u Trafalgaru i v dalších bitvách proti francouzskému a španělskému námořnictvu. V nedávné době, při invazi do Iráku v roce 2003, přišel americký ministr obrany Donald Rumsfeld se zvláštní taktikou: místo aby použil velké invazní síly, nasadil malé skupiny těžce vyzbrojených vojáků (s malým D a velkým d), jimž teoreticky může uštědřit porážku větší Z, i když má menší z.
Lanchesterův zákon druhých mocnin vyjadřuje skutečnost, že při moderním vedení válek může jedna bojová jednotka zabít mnoho protivníků a zároveň být napadána z mnoha stran současně. Kdyby došlo na boj muže proti muži toho druhu, že se každý voják střetne jen s jedním protivníkem, pak by výsledek bitvy závisel na rozdílu zZ – dD a nikoliv na rozdílu zZ2 – dD2. Kdyby však byl boj muže proti muži všeobecnou řežbou, v níž se všechny bojové jednotky jedné strany střetávají se všemi jednotkami protivníka, pak bude platit pravidlo druhých mocnin. Jste-li v menšině, vyhněte se tomu!
Při dalším pohledu na Lanchesterův vzorec vidíme, že na počátku bitvy můžeme na základě hodnot z, Z, d a D vypočítat konstantu C. Je to prosté číslo. Je-li kladné, pak bude v libovolném čase zZ2 větší než dD2 a Z se nikdy nemůže snížit na nulu. Na konci bitvy, mají-li jednotky stejnou účinnost (z = d), bude počet přeživších roven odmocnině rozdílu druhých mocnin počtů jednotek na každé straně, takže je-li například D = 5 a Z = 4, zbudou tři přeživší.
Lanchesterovy jednoduché modely mají řadu mnohem komplikovanějších variací. Lze kupříkladu sloučit jednotky s různou účinností, zahrnout do výpočtu podpůrné jednotky zásobující bojující vojáky, zohlednit náhodné faktory, jež změní interakce mezi vojsky či zahrnout do rovnic únavu a opotřebení tím způsobem, že dovolíme, aby se veličiny z a d snižovaly s časem. Ale základem všeho jsou jednoduché Lanchesterovy úvahy. Sdělují nám mnoho zajímavých věcí, z nichž některé by ocenil i Sun-c´, ale zároveň otevírají prostor ke stále sofistikovanějšímu modelování. Zkuste si, zda to funguje, až si budete hrát na vojáky anebo budete sedět u počítačových her s vnoučaty či pravnoučaty. Budete-li sami počítačové hry vyvíjet, využijte těchto pravidel a povede se vám namodelovat dobře vyvážená soupeřící vojska: budete totiž vědět, proč samotné počty bojových jednotek nejsou ve válečné hře rozhodujícím faktorem.
Tento text je úryvkem z knihy:
John D. Barrow: Sto důležitých věcí o umění a matematice, které nevíte (a ani nevíte, že je nevíte)
Dokořán 2017
O knize na stránkách vydavatele
„Pokud D (nebo Z) bojových jednotek zničí d (nebo z) jednotek nepřítele, pak d a z měří bojovou efektivitu příslušných stran. … To znamená, že: dZ/dt = –dD“
Nemalo by tam byt, ze „…pokial jedna jednotka z D (alebo Z) znici d (alebo z) jednotiek nepriatela …“ , aby bol vzorec spravny? Ci sa nebodaj mylim?