Sciencemag.cz
Doporučujeme
Důkaz Bertrandova postulátu, podle něhož mezi N a 2N se vždy najde alespoň jedno prvočíslo. Ale nemůže totéž platit pro N a 1,01N?
Už od časů, kdy de la Vallée Poussin a Hadamard dokázali prvočíselnou větu, byli matematici trvale znechuceni svou vlastní neschopností nalézt jednodušší způsob, jak dokázat Gaussův vztah mezi logaritmy a prvočísly.
Skutečně Gaussův odhad počtu prvočísel není možné dokázat jinak než s pomocí tak vysoce sofistikovaných pomůcek, jakými jsou Riemannova funkce zeta a ta strašná imaginární krajina? Matematici byli ochotni připustit, že podobné nářadí může být nezbytné k ověření, že odhad má tak dobré vlastnosti, jaké by plynuly z Riemannovy hypotézy, pokud by se její platnost prokázala, tedy že odchylka bude vždy srovnatelná s odmocninou N. Zároveň ale byli přesvědčeni, že musí existovat jednodušší důkaz původního hrubého odhadu, který předpověděl Gauss. Doufali, že se jim podaří zobecnit Čebyševovu elementární metodu, která zaručovala, že se Gauss vešel do odchylky nejvýše jedenácti procent od skutečného výsledku. Ale jak plynul čas a padesát let pokusů o nalezení jednoduššího důkazu vyznělo naprázdno, začali lidé věřit tomu, že komplikované metody, které navodil Riemann a dále propracovali de la Vallée Poussin a Hadamard, jsou prostě nevyhnutelné.
Hardy nevěřil v existenci jednoduššího důkazu. Ne že by po něm netoužil – matematici nepřetržitě usilují nejen o důkaz, ale také o jeho jednoduchost a eleganci. Hardy se prostě k věci stavěl pesimisticky a pochyboval, že by se taková věc dala někde sehnat. Nepochybně by ocenil příspěvek Erdőse a Selberga, kteří v roce 1947, jen pár měsíců po jeho smrti, nalezli jednoduchý způsob, jak provázat logaritmy a prvočísla. Zato spory, které se později točily kolem autorství tohoto důkazu, by se mu příčily. Tato příhoda byla popsána několikrát, v neposlední řadě ve dvou Erdősových životopisech.
Vezmeme-li v potaz rozsáhlou síť spolupracovníků a dopisovatelů, kterou si Erdős pěstoval, a její příkrý kontrast se Selbergovou notorickou nesdílností, nemůžeme se divit, že se příběh většinou vykládá z Erdősova pohledu.
Nicméně stojí za to podívat se krátce na to, jak věc viděl Selberg. Prvním, kdo třímal důmyslné náčiní zvané funkce zeta, byl Dirichlet. Ten funkci užil k potvrzení platnosti jedné z Fermatových předtuch. Dirichlet dokázal, že vezmeme-li hodinovou kalkulačku s N položkami na ciferníku a budeme dosazovat prvočísla, pak se na hodinách objeví jedna hodina nekonečně mnohokrát. Jinými slovy existuje nekonečně mnoho prvočísel, která při dělení číslem N dávají zbytek 1. Dirichletův důkaz se opíral o mazané využití funkce zeta a později se stal katalyzátorem Riemannových velkých objevů.
Ovšem v roce 1946, tedy sto deset let po Dirichletovi, přišel Selberg s elementárním důkazem Dirichletovy věty, který se nesl v podobném duchu jako Eukleidův důkaz toho, že prvočísel je nekonečně mnoho. Jeho důkaz, jenž se zeta funkci vyhnul, představoval v době, kdy se mnozí domnívali, že bez Riemannových idejí nelze v teorii prvočísel dosáhnout žádného pokroku, důležitý psychologický průlom. Důkaz byl sice velmi důvtipný, ale nepotřeboval žádnou důmyslnou matematiku 19. století a možná by dokonce mohl být srozumitelný samotným starověkým Řekům.
Paul Turán, maďarský matematik, který byl v Princetonu na návštěvě, se se Selbergem spřátelil a trávili spolu jistý čas. Turán byl zároveň blízkým Erdősovým přítelem. Stalo se mu dokonce, že článek, který napsal spolu s Erdősem, byl jediným dokladem, který byl schopen předložit, když jej zastavila sovětská vojenská hlídka na ulici v osvobozené Budapešti v roce 1945. Na hlídku udělal důkaz velký dojem a Turána příhoda zachránila od výletu do gulagu. Jak Turán později žertoval, šlo o „neobvyklou aplikaci teorie čísel“. Turán měl intenzivní zájem na tom, aby pochopil něco z myšlenek, které Selberg využil ve svém důkazu, jenomže měl naplánováno, že koncem jara odjede z Princetonu. Selberg mu ochotně ukázal několik podrobností a dokonce navrhl, aby o důkazu přednášel Turán za něj, zatímco on si zajede do Kanady vyřídit obnovení svých víz. Ale v diskusi s Turánem odhalil Selberg ze svých karet asi více, než měl.
Během přednášky se Turán zmínil o úžasném vzorci, který Selberg odvodil a který nebyl v přímém vztahu k Dirichletově větě. Erdős seděl v obecenstvu a pochopil, že vzorec je přesně to, co potřeboval k dokončení svého důkazu Bertrandova postulátu tvrdícího, že mezi N a 2N se vždy najde alespoň jedno prvočíslo. To, o co se snažil Erdős, bylo vyzkoumat, zda je třeba skutečně zajít až k 2N, nebo zda by stačil i kratší interval. Co třeba mezi N a 1,01 × N, nenašlo by se prvočíslo už tam? Bylo mu jasné, že toto nemůže platit pro libovolné N. Koneckonců, vezmeme-li N = 100, pak mezi 100 a 101 (což je 1,01 × 100) nenalezneme vůbec žádná celá čísla, natož prvočísla. Ale Erdős
se domníval, že bude-li N dost velké, pak se podobně jako u Bertrandova postulátu už nějaké to prvočíslo ležící mezi N a 1,01 × N najde. Na hodnotě 1,01 není nic výjimečného. Erdős věřil tomu, že toto tvrzení bude platit pro každé číslo mezi jedničkou a dvojkou. Během Turánovy přednášky Erdős pochopil, že Selbergův vzorec je chybějícím článkem v jeho důkazu.
„Erdős se mě zeptal, jestli nemám nic proti tomu, aby můj vzorec využil k důkazu svého zobecnění Bertrandova postulátu.“ Šlo o výsledek, o kterém přemýšlel i sám Selberg, ale nikam se nedostal. „Já jsem na tomto problému nepracoval, tak jsem mu řekl, že nemám námitek.“ Selbergovu pozornost v té době okupoval zástup drobných praktických problémů. Potřeboval obnovit platnost svého víza, hledal ubytování v Syracuse, kde měl příští akademický rok vyučovat, a potřeboval si připravit poznámky k přednáškám letního kurzu pro studenty techniky. „Tak či onak, Erdős byl vždycky se vším rychle hotov, a prostě se mu podařilo nalézt důkaz.“
Bylo tu ale pár věcí, které Selberg Turánovi neřekl. Především důvod, proč se vůbec Selberg tímto zobecněním Bertrandova postulátu zabýval, spočíval v tom, že v něm viděl poslední kousek skládačky, který mu chyběl k dokončení elementárního důkazu prvočíselné věty. Erdősův výsledek představoval právě ten poslední kousek, a s jeho pomocí již Selberg mohl celý důkaz dokončit.
Selberg Erdősovi vyložil, jakým způsobem využil jeho výsledku k dokončení elementárního důkazu prvočíselné věty. Erdős navrhl, že by mohli přednést tuto práci společně malé skupince matematiků, která byla předtím přítomna Turánově přednášce. Jenomže Erdős nedokázal udržet své vzrušení na uzdě a jal se čile rozesílat pozvánky na velkolepou přednášku. Selberg tak početné publikum nečekal.
Když jsem tam odpoledne někdy mezi čtvrtou a pátou dorazil, posluchárna praskala ve švech. Tak jsem si stoupl k tabuli, prošel jsem svou část důkazu a požádal jsem Erdőse, aby vyložil svou část. Pak jsem dodělal zbytek a vysvětlil jsem, jak z toho vyplyne elementární důkaz prvočíselné věty. Takže první důkaz vznikl užitím toho jeho mezivýsledku.
Erdős navrhl, aby výsledný důkaz sepsali do společného článku. Ale, jak vysvětluje Selberg,
…já nikdy nepíšu s nikým žádné společné články. Chtěl jsem, abychom opublikovali dva samostatné články, ale Erdős trval na tom, že bychom měli postupovat jako Hardy s Littlewoodem. Já jsem ale ke spolupráci nikdy nedal souhlas. Předtím než jsem přijel do Spojených států, jsem na své matematice pracoval v Norsku. Vše, co jsem dělal, jsem dělal sám, dokonce jsem se o tom ani s nikým nebavil. Ne, nikdy jsem nebyl tímhle typem týmového hráče. Můžu si s lidmi povídat, ale pracuji v osamění, tak to prostě vyhovuje mé povaze.
Pravda je, že se sešli dva matematici s naprosto odlišnými povahami. Jeden byl zcela soběstačný vlk samotář, který napsal jeden jediný společný článek za celý život, a to spolu s indickým matematikem Saravadamem Chowlou. I to však provedl jen s velkým sebezapřením. Druhý naopak dotáhl matematickou spolupráci do takového extrému, že matematici dodnes hovoří o takzvaném Erdősově číslu, tedy hodnotě označující nejnižší počet spoluautorů nutný k vytvoření řetízku vedoucího od daného matematika k nějakému Erdősově článku. Například autor této knihy má číslo 3, což znamená, že napsal článek spolu s kýmsi, kdo publikoval článek spolu s kýmsi, kdo napsal
článek s Erdősem. Vzhledem k tomu, že Chowla byl jedním z 507 Erdősových spoluautorů, dává Selbergovi jeho jediný nesamostatný článek Erdősovo číslo 2. Takové číslo má okolo pěti tisíc matematiků.
Po jeho odmítnutí, jak ostatně i sám Selberg uznává, se již věci naprosto vymkly kontrole. Psal se rok 1947 a Erdős měl v té době dávno vytvořenou rozsáhlou síť spolupracovníků a dopisovatelů. Ty všechny informoval o svých matematických pokrocích prostřednictvím pohlednic, kterými je neustále zásoboval. Podle jedné historky bylo pro Selberga posledním hřebíčkem do rakve jeho přivítání po příjezdu do Syracuse zaměstnancem katedry, který se jej zeptal: „Slyšel jste to? Erdős a nějaký Skandinávec prý společně vyplodili elementární důkaz prvočíselné věty!“ Tou dobou už měl Selberg nalezenu alternativní metodu, která Erdősův mezikrok nepotřebovala. Na nic se neohlížel a výsledek publikoval sám. Článek se objevil v časopise Annals of Mathematics vydávaném v Princetonu a považovaném za jeden ze tří nejlepších matematických časopisů na světě. Je to také mimo jiné časopis, v němž publikoval Andrew Wiles svůj důkaz velké Fermatovy věty.
Erdős byl šílený vzteky. Požádal Hermanna Weyla, aby spor rozsoudil.
Selberg vzpomíná: „Potěšilo mě, že mi Hermann Weyl poté, co si vyposlechl obě strany, dal nakonec za pravdu.“ Erdős publikoval svůj důkaz a Selbergovi v něm přiznal jistý kredit. Byla to ale nesmírně nešťastná epizoda. Navzdory mimosvětské povaze matematiky mají i matematici svá ega, která je občas třeba masírovat. Máloco je tak dobrou motivací pro tvůrčí proces, jako sen o nesmrtelnosti zaručené tím, že se po nás bude jmenovat nějaká věta. Příběh Selberga a Erdőse poukazuje na to, jak důležité jsou v matematice – a vlastně v jakékoli vědě – otázky prvotnosti autorství. Právě proto strávil Wiles sedm let v osamění ve své podkrovní mansardě prací na velké Fermatově větě v naprostém utajení. Jinak by se o slávu musel dělit.
Ačkoli matematici fungují podobně jako štafetový tým a předávají si pomyslný kolík z jedné generace na druhou, přece jen prahnou i po individuální slávě, kterou by jim mohlo poskytnout proběhnutí cílovou páskou. Matematický výzkum je delikátním bilancováním mezi nutností spolupráce na projektech s časovým rozpětím několika století a touhou po nesmrtelnosti.
Po nějaké době začalo být jasné, že Selbergův elementární důkaz prvočíselné věty nebyl zas až takovým průlomem, v jaký se obecně doufalo. Někteří věřili tomu, že by jeho vklad mohl vydláždit cestičku k elementárnímu důkazu Riemannovy hypotézy. Mohl by třeba vést k důkazu toho, že odchylka Gaussova odhadu od skutečného počtu prvočísel nečiní více než odmocninu z N. A bylo známo, že tento fakt je ekvivalentní tomu, že jsou všechny kořeny vzorně seřazeny na Riemannově kritické přímce.
Tento text je úryvkem z knihy
Marcus du Sautoy: Hudba prvočísel
Dvě století Riemannovy hypotézy
Argo a Dokořán 2019
O knize na stránkách vydavatele
