Zdroj: Oleg Alexandrov – Wkipedie, licence obrázku public domain
Zdroj: Oleg Alexandrov – Wkipedie, licence obrázku public domain

Petrohradský paradox: Pravděpodobnost, očekávání a užitek

Tím, že přemýšlíme nad pravděpodobností výhry i nad hodnotou, kterou máme získat, si stanovujeme míru rizika a sázky. Čím vyšší je naše očekávání, tím ochotněji riskujeme.
Tak to alespoň platí v teorii. V mnoha případech se míra očekávání skutečně ukazuje jako dostatečně spolehlivý nástroj k odhadu výhry či ztráty. Přesto zde existuje problém, který předložil Danielův synovec Nicolaus ve formě provokativního paradoxu (takzvaného petrohradského paradoxu). Nyní se s ním seznámíme.
Představme si, že jsme vyzváni ke hře, která spočívá v opakovaném házení mincí. Jestliže nám na první pokus padne panna, pak nám protihráč zaplatí 2 koruny a hru skončíme. Jestliže prvním hodem padne orel a druhým panna, zaplatí nám 4 koruny a hru opět ukončíme. Jestliže nejprve padne dvakrát orel a pak panna, dostaneme 8 korun a hra skončí. Pokračujeme tímto způsobem, dokud nám nepadne panna. Pokaždé, když padne orel, hra pokračuje a protihráč zdvojnásobuje částku, kterou získáme, až nám padne panna.
Nyní si představme, že někdo, kdo sleduje naši hru, nám nabídne 10 korun, pokud ho necháme hrát místo sebe. Přijmeme jeho nabídku? Nebo raději odmítneme? Co kdyby nabídl 50 korun? Nebo 100 korun? Jinými slovy: jak si ceníme tuto hru?
Na to by právě mělo odpovědět očekávání. Jaký údaj nám tedy poskytne v tomto případě? Ve své podstatě může hra pokračovat do nekonečna – existuje zde nekonečně mnoho možných kombinací, zda padne panna nebo orel: P, OP, OOP, OOOP, OOOOP, … Příslušné pravděpodobnosti těchto výsledků jsou po řadě 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … Míra očekávání se tedy rovná
(1/2 x 2) + (1/4 x 4) + (1/8 x 8) + (1/16 x 16) + (1/32 x 32) + …
Tento nekonečný součet lze upravit na
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …
Protože se jedná o nekonečný součet, také naše očekávání je v tomto případě nekonečné.
Hrajeme-li hru, která nám zaručuje nekonečně velké očekávání, pak bychom za žádnou cenu neměli postoupit své místo ve hře někomu jinému. Přesto většina lidí včetně odborníků na teorii pravděpodobnosti bude uvažovat o nabídce 10 korun a téměř bez váhání přijme 50 korun. Šťastná náhoda, že tuto částku vyhrajeme v nějaké hře, se zdá příliš nereálná. Proč nám zde nepomáhá pojem očekávání?
Přemítání nad touto otázkou i nad řadou dalších problémů spojených s očekáváním vedlo Daniela Bernoulliho k nápadu, že tento ryze matematický pojem nahradí mnohem méně formálním pojmem užitek.
Užitek měří míru důležitosti, kterou přikládáme určité události. Užitek jako takový je věc velmi individuální. Záleží na hodnotě, kterou osoba vkládá do určitého výsledku. Váš a můj užitek se mohou lišit.
Na první pohled se zdá, že nahrazení matematicky přesného pojmu očekávání osobní ideou užitku by mohlo být na překážku další vědecké analýze. Nestalo se to. Přestože ohodnocení velikosti užitku čísly je pro jednotlivce obtížné, ba dokonce i nemožné, učinil Bernoulli významný a vskutku hluboký postřeh: „Užitek vyplývající z malého nárůstu bohatství je nepřímo úměrný množství již dříve vlastněného majetku.“
Bernoulliho zákon užitku vysvětluje, proč dokonce i nepříliš bohatý člověk pociťuje mnohem silněji bolest ze ztráty poloviny svého majetku než radost, kterou má z jeho zdvojnásobení. Jedině když jsme si schopni jasně říci, co můžeme ztratit, jsme připraveni na skutečně velkou hazardní hru.
Představme si například, že můj i váš čistý majetek činí 100 000 Kč. Budeme hrát následující hru s mincí. Když hodíte mincí a padne vám hlava, dám vám 50 000 Kč. V opačném případě dostanu 50 000 Kč já od vás. Po první hře bude mít vítěz 150 000 Kč a poražený 50 000 Kč. Protože jsou výplatní částky stejné a pravděpodobnost výhry je 1/2, je očekávání pro nás oba rovno nule. Jinými slovy, podle teorie očekávání ani jednomu z nás hra nic nepřináší, je tedy v podstatě jedno, zda ji hrajeme, či nikoli. Přesto by málokdo z nás tuto hru hrál. Téměř určitě bychom ji považovali za „nepřiměřený risk“ – 50% pravděpodobnost ztráty znamená 50 000 Kč (polovinu našeho majetku) a daleko převáží 50% pravděpodobnost výhry 50 000 Kč, čímž by se náš majetek zvýšil o 50 %.
Zákon užitku podobným způsobem vysvětluje petrohradský paradox. Čím déle hra trvá, tím větší obnos vyhrajeme, když nám nakonec padne hlava. (Jestliže hra skončí sedmým hodem, vyhrajeme více než 100 Kč. Devět úspěšných hodů nám zaručí výhru přesahující 1 000 Kč. Jestliže hra skončí padesátým hodem, pak získáme více než milion miliard korun.) Podle Bernoulliho zákona užitku platí, že jakmile dosáhneme takového stadia hry, kdy se i minimální výhra z našeho pohledu jeví jako uspokojivý zisk, pak se užitek získaný delším hraním začíná snižovat. To přesně určuje sumu, za kterou bychom byli ochotni prodat své místo ve hře.

Tento text je úryvkem z knihy
Keith Devlin:
Jazyk matematiky. 2. vydání
Jak zviditelnit neviditelné

Dokořán, aktuálně vychází dotisk
O knize na stránkách vydavatele

obalka_knihy

3d struktura proteinů, zdroj: Wikipedia, licence obrázku public domain

Evoluce virů – viry jako upíři a potomci buněčných organismů?

Dopad virů na evoluci biosféry je bezesporu velký, autoři se však liší v pohledu na …

  • siro

    Ja sa na tu poslednu hru pozeram z ineho konca. Ak prehram stratim polovicu majektu. ak vyhram tak ziskam len tretinu majektu. pri vyhre totiz mam 150000 ale vyhra je len 1/3 mojho noveho majetku. pri vyhre si asi lahsie predstavim ze uz ju mam.

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close