Sciencemag.cz
Doporučujeme
Vzhledem k tomu, že součet převrácených hodnot všech prvočísel diverguje k nekonečnu, vypadá téměř neuvěřitelně, že součet prvočíselných dvojic konverguje…
Viggo Brun (1885-1978)
„Žádné odvětví teorie čísel není naplněno tolika záhadami jako studium prvočílel: oněch rozčilujících a vzpurných celých čísel, která odmítají být dělena beze zbytku jinými celými čísly kromě sebe samých a 1,“ napsal jednou Martin Gardner. „Některé problémy prvočísel jsou natolik prosté, že je dokáže pochopit i dítě, a přece jsou tak hluboké a těžko řešitelné, že mnozí matematici mají podezření, že žádné řešení ani nemají… Možná má teorie čísel, podobně jako kvantová mechanika, svůj vlastní princip neurčitosti, kvůli němuž bude v určitých oblastech nutné opustit exaktnost ve prospěch formulací na základě pravděpodobnosti.“
úryvek – věta o provčíslech! Prvočísla se často vyskytují v párech následných lichých čísel, jako například 3 a 5. Největší známá prvočíselná dvojice měla v roce 2008 na každé číslo více než 58 000 číslic. Teoreticky sice může takových dvojic existovat nekonečně mnoho, to je ale hypotéza, kterou zatím nikdo nedokázal. Snad proto, že hypotéza prvočíselných dvojic je jedním z velkých nevyřešených problémů matematiky, vysvětloval ji ve filmu Dvě tváře lásky Jeff Bridges v roli profesora matematiky Barbře Streisandové.
V roce 1919 norský matematik Viggo Brun dokázal, že pokud budeme sčítat převrácené hodnoty následných prvočíselných dvojic, bude se součet blížit určité dané hodnotě, zvané nyní Brunova konstanta: B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + . . . = 1,902160… Vzhledem k tomu, že součet převrácených hodnot všech prvočísel diverguje k nekonečnu, vypadá téměř neuvěřitelně, že součet prvočíselných dvojic konverguje – čili přibližuje se určité konečné hodnotě. Na druhé straně to ukazuje, že prvočíselné dvojice jsou relativně „vzácné“, třebaže jich zřejmě existuje nekonečně mnoho. Pátrání po prvočíselných dvojicích stejně jako po stále přesnějších hodnotách B v současnosti pokračuje na několika univerzitách. Až na první pár mají všechny prvočíselné dvojice podobu (6n – 1, 6n + 1).
Britský matematik Andrew Granville k tomu poznamenal: „Prvočísla jsou nejzákladnější objekty matematiky. Patří také k nejzáhadnějším, protože po staletí výzkumů jsme jejich strukturu stále dostatečně nepochopili…“
Poznámka PH: Na tom mi přijde nejkurióznější ne samotný důkaz konvergence; nejsme si jisti, zda prvočíselných dvojic existuje nekonečně, ale dejme tomu jsou pak dál už příliš řídce, takže řada konverguje. Fascinuje mě nicméně, že bez ohledu na to, zda je prvočíselných dvojic nekonečně, známe konkrétní číslo, k němuž řada konverguje. (Ovšem když to číslo je stejně odhad v intervalu… Viz Wikipedia.cz)
Tento text je úryvkem z knihy:
Clifford A. Pickover: Matematická kniha – Od Pythagora po 57. dimenzi: 250 milníků v dějinách matematiky
Argo a Dokořán 2012, nové vydání 2023
O knize na stránkách vydavatele
„Známe konkrétní číslo, ke kterému řada konverguje.“ Na tom není z matematického hlediska nic podivného. Jestliže řada konverguje, pak v oboru reálných čísel existuje její součet. To je vlastnost oboru reálných čísel. (t.j. máme existenční důkaz.) Toto číslo bylo pojmenováno, nic víc. Jako bonus máme odhad jeho velikosti.
Pokud je prvočíselných dvojic konečný počet, bylo by toto číslo nutně racionální.