Sciencemag.cz
Doporučujeme
Úspěch matematiky ve vysvětlování světa kolem nás, který Wigner nazval „nepochopitelnou účinností matematiky“, má vlastně dvě stránky, jednu překvapivější než druhou. Předně zde funguje aspekt, který by se dal označit termínem „aktivní“.
Když fyzikové bloudí labyrintem přírody, svítí si na cestu matematikou – nástroje, které používají a rozvíjejí, modely, jež tvoří, a vysvětlení, která vyvozují, to všechno je svou povahou matematické. To už samo o sobě vypadá na první pohled jako zázrak. Newton pozoroval padající jablko, Měsíc a příliv s odlivem na plážích, nikoli matematické rovnice. Ze všech těchto přírodních jevů však nějakým způsobem dokázal vytěžit jasné, zhuštěně podané a neuvěřitelně přesné matematické zákony přírody. Když skotský fyzik James Clerk Maxwell (1831–1879) rozšířil rámec klasické fyziky tak, aby zahrnovala všechny elektrické a magnetické jevy známé v 60. letech 19. století, uskutečnil to pomocí pouhé čtveřice matematických rovnic. Chvíli se nad tím zamysleme. Výklad celého souboru výsledků experimentů s elektromagnetismem a světlem, jejichž popisy v té době zabíraly celé svazky, se zhustil do čtyř krátkých rovnic. Ještě větší ohromení budí Einsteinova obecná teorie relativity – je to dokonalý příklad mimořádně přesné a vnitřně bezesporné matematické teorie něčeho tak fundamentálního, jako je struktura prostoru a času.
Záhadná efektivnost matematiky má však také svou „pasivní“ stránku a ta je tak překvapivá, že vedle ní význam „aktivního“ aspektu bledne. Koncepty a vztahy, které matematici zkoumají pouze z touhy po čistém poznání – zcela bez záměru je jakkoli využít – se o desítky let později vynořují jako nečekaná řešení problémů zakotvených ve hmotné skutečnosti! Jak je to možné? Vezměme si za příklad docela zábavný případ excentrického britského matematika Godfreye Harolda Hardyho (1877–1947). Hardy byl tak hrdý na to, že jeho práce nesestává z ničeho jiného než z čisté matematiky, že důrazně prohlašoval: „Žádný můj objev nepřinesl a pravděpodobně ani nepřinese do každodenního světa a života ani to nejmenší, přímo ani nepřímo a ať chceme nebo ne.“6 Uhodneme asi, že se mýlil. Jeden z jeho objevů se stal později součástí Hardyho-Weinbergova zákona (pojmenovaného podle Hardyho a německého fyzika Wilhelma Weinberga [1862-1937]), základního principu využívaného genetiky ke studiu vývoje populací.7 Hardyho-Weinbergův zákon jednoduše řečeno stanoví, že pokud se rozsáhlá populace páří zcela náhodně (a migrace, mutace a selekce se nevyskytují), pak genetická skladba zůstává v každé generaci stále stejná. Dokonce i Hardyho zdánlivě zcela abstraktní práce na teorii čísel – výzkum vlastností přirozených čísel – nalezla nečekané využití. Britský matematik Clifford Cocks8 v roce 1973 uplatnil teorii čísel k průlomu v kryptografii, tedy k vývoji kódů a šifer. Cocksovým objevem bylo překonáno i další Hardyho tvrzení. Ve své proslulé knize Obrana matematikova z roku 1940 Hardy prohlásil: „Nikdo ještě neobjevil sebemenší vojenský účel, jemuž by posloužila teorie čísel.“ Hardy se ale i zde naprosto mýlil. Kódy a šifry jsou pro armádní spojení naprostou nezbytností. Takže i Hardy, jeden z nejhlasitějších kritiků aplikované matematiky, byl „zatažen“ (kdyby byl naživu, jistě by se bránil zuby nehty) do tvorby prakticky užitečných matematických teorií.
To je ovšem jen vrcholek ledovce. Kepler a Newton objevili, že planety naší sluneční soustavy se pohybují po oběžných drahách tvarů elips – právě těch křivek, které před dvěma tisíciletími studoval řecký matematik Menaichmos (380–320 př. n. l.). Ukázalo se, že nové typy geometrie, které v klasické přednášce z roku 1854 nastínil Georg Friedrich Bernhardem Riemann (1826–1866), byly přesně těmi nástroji, které Einstein potřeboval k vysvětlení struktury kosmu. Matematický „jazyk“ zvaný teorie grup, který vyvinul geniální mladík Évariste Galois (1811–1832) jen proto, aby určil řešitelnost algebraických rovnic, se dnes stal jazykem, který dnes používají fyzikové, inženýři, jazykovědci a dokonce i antropologové k popisu veškerých symetrií, které ve světě existují.9 Koncept matematické symetrie navíc v určitém smyslu postavil celý vědecký postup na hlavu. Cesta k porozumění fungování kosmu vedla po staletí od shromažďování experimentálních nebo pozorování získaných faktů, z nichž se metodou pokusu a omylu vědci pokoušeli dedukovat obecné zákony přírody. Vědecký postup tak začínal dílčími pozorováními a kousek po kousku z nich sestavoval celou skládačku. Když se ve 20. století zjistilo, že v základech struktury subatomárního světa spočívají dobře definované matematické formy, začali současní fyzikové dělat přesný opak. Nejprve vytyčili matematické principy symetrie v přesvědčení, že fyzikální zákony a určitě i základní stavební kameny hmoty by měly sledovat určité vzory, a poté z těchto předpokladů odvodili obecné zákony. Jak příroda ví, že se musí řídit abstraktními matematickými symetriemi?
V roce 1975 si mladý matematický fyzik z Národní laboratoře v Los Alamos Mitch Feigenbaum hrál se svou kalkulačkou HP-65. Zkoumal chování jedné jednoduché rovnice. Povšiml si, že sled čísel, které se na displeji objevovaly, se stále více blížil jednomu konkrétnímu číslu: 4,669… Když se zaměřil na další rovnice, ke svému úžasu zjistil, že totéž zvláštní číslo se objevuje vždy znovu. Feigenbaum brzy usoudil, že objevil něco univerzálního, co nějakým způsobem označuje přechod od řádu k chaosu, třebaže žádné vysvětlení pro to neměl.10 Fyzikové se k tomu podle očekávání zpočátku stavěli velmi skepticky. Proč by koneckonců mělo stále totéž číslo charakterizovat chování zjevně dost odlišných systémů? Po šesti měsících odborného posuzování nebyla první Feigenbaumova studie na toto téma přijata k publikaci. Zanedlouho však experimenty prokázaly, že když se bude kapalné helium zespodu zahřívat, bude se chovat přesně tak, jak Feigenbaumovo univerzální řešení předpovídalo. Nebyl to jediný systém, o němž se zjistilo, že se chová tímto způsobem. Udivující Feigenbaumovo číslo se ukazovalo v přechodech od uspořádaného proudění kapaliny k turbulencím a dokonce i v chování vody kapající z vodovodu.
Seznam takovýchto „předjímání“, jimiž matematici anticipovali budoucí potřeby různých vědeckých disciplín, snad nebere konce. Jeden z nejpůsobivějších příkladů záhadné a nečekané souhry mezi matematikou a reálným (fyzickým) světem poskytuje příběh o teorii uzlů – odvětví matematické topologie zabývající se uzly. Matematický uzel připomíná běžný uzel na provaze, jehož konce jsou spojeny dohromady. Matematický uzel je tedy prostě uzavřená křivka bez volných konců. Zajímavé je, že hlavní podnětem k vývoji matematické teorie uzlů byl nesprávný model atomu z 19. století. Jakmile byl tento model opuštěn – pouhá dvě desetiletí po svém zrodu – vyvíjela se teorie uzlů dál jako relativně okrajový obor čisté matematiky. Tato abstraktní disciplína však kupodivu najednou nalezla rozsáhlé moderní aplikace v oblastech sahajících od molekulární struktury DNA po teorii strun (pokus sjednotit subatomární svět s gravitací).
Tento text je úryvkem z knihy
Mario Livio: Je Bůh matematik?
Argo a Dokořán, 2017 (nové vydání)
O knize na stránkách vydavatele
Další úryvek z knihy:
Lidská mysl, matematika a vesmír
Snaha o vyřešení tohoto problému se ani na tiscali nemůže povést, to je vám jasné. Praktikující věřící by řekl, neřešte to, co boží věcí jest!!!
Kedysi este na strednej skole v 1968 som sa bavil s cislami a zistil som, ze ked delim 3/2=1.5. Zoberiem co je za desatinnou ciarkou 3.5/2.5=1.4. Potom 3.4/2.4=1.41666… a tak dalej a zistil som ze limitne polozky u vsetkych troch cisel idu ku tej istej hodnote teda (3+x)/(2+x)=(1+x). Zaujimave ze sa to ustali pri tom postupnom deleni. Takych trojic som nasiel viac ale uz som zabudol co s tym. Je to sucast nejakych obecnych zakonistosti?
Banachova věta o kontrakci.
Vdaka za odpoved. Na fyzike sme taketo veci nemali.