Sciencemag.cz
Doporučujeme
Existují libovolně dlouhé úseky přirozených čísel neobsahující žádná prvočísla. Matematik je stroj na přetváření kávy ve věty.
V ústavu pobýval v té době ještě jeden matematický emigrant z Evropy, jehož životní pouť se měla protnout se Selbergovou. Podobně jako Ramanujanův příběh kdysi inspiroval mladého Selberga v Norsku, zapůsobilo jeho kouzlo i na dalšího mladého ducha. Maďar Pál (Paul) Erdős byl jedním z nejpodivuhodnějších matematiků druhé poloviny 20. století. Ale Ramanujan nebyl jediným pojítkem mezi oběma matematiky. Byla to také jistá kontroverze.
Zatímco Selberg rád pracoval sám, Erdős přímo vzkvétal při spolupráci. Jeho sehnutou postavu oděnou v sandálech a obleku dobře znali ve společenských místnostech matematických kateder po celém světě. Často jej bylo možno vidět skloněného nad papírem spolu s nějakým novým spolupracovníkem, jak si společně užívají svou vášeň pro vymýšlení a řešení problémů týkajících se čísel. Během svého života napsal přes patnáct set článků, což je zcela fenomenální výkon. Jediným matematikem všech dob, který toho napsal více, byl Euler. Erdős byl matematický mnich, který se zbavil veškerého osobního majetku, aby jej nezdržoval v jeho misi. Všechny peníze, které vydělal, dával studentům ve formě odměn za řešení mnoha problémů, které jim zadával. Podobně jako u Hardyho hrál i v jeho pohledu na svět Bůh přední, avšak poměrně nekonvenční úlohu. Opatrovníka „Velké knihy“, která měla obsahovat podrobnosti těch nejelegantnějších důkazů matematických problémů, řešených i neřešených, označoval výrazem „Vrchní fašista“. Nejvyšší pocta, jakou mohl Erdős nějakému důkazu vyseknout, bylo ocenění „tohle by mohlo jít rovnou do Knihy!“. Věřil, že každý kojenec (neboli epsilon, jak nazýval malé děti podle řeckého písmene užívaného matematiky k označení velmi malého čísla) se rodí se znalostí důkazu Riemannovy hypotézy tak, jak je uveden v Knize. Bohužel jej po šesti měsících zapomenou.
Erdős rád při matematické práci poslouchal hudbu a často byl k vidění v koncertních sálech, jak si cosi čmárá do poznámkového bloku, neschopen udržet nový nápad na uzdě. Ačkoli byl skvělým spolupracovníkem a nesnášel samotu, fyzický kontakt mu byl odporný. Ve formě jej udržovaly mentální požitky posilované kávou a kofeinovými tabletkami. Jak praví jeden jeho slavný výrok: „Matematik je stroj na přetváření kávy ve věty.“ Erdős podobně jako mnozí jiní matematici měl štěstí na otce, který jej seznámil s myšlenkami, jež podnítily jeho vášeň pro čísla. Při jedné příležitosti mu otec ukázal Eukleidův důkaz tvrzení, že prvočísel je nekonečně mnoho. Erdőse ale fascinovalo hlavně to, když jeho otec potom Eukleidův argument otočil a dokázal, že existují libovolně dlouhé úseky přirozených čísel neobsahující žádná prvočísla.
Chceme-li nalézt posloupnost 100 po sobě jdoucích přirozených čísel neobsahující žádná prvočísla, stačí vzít všechna čísla od jedné do 101 a vynásobit je mezi sebou. Dostaneme číslo zvané faktoriál čísla 101, které zapisujeme symbolem 101!. Pak je číslo 101! dělitelné kterýmkoli číslem od jedné do 101. Je-li ale N libovolné z těchto čísel, pak je 101! + N také dělitelné číslem N, neboť jak 101!, tak N jsou dělitelná číslem N. Takže ani jedno z čísel
101! + 2, 101! + 3, … , 101! + 101
není prvočíslo. Dostáváme tudíž kýžený seznam 100 čísel neobsahující žádná prvočísla.
To probudilo Erdősův zájem. Jak dlouho bychom museli počítat od čísla 101!, nebo od nějakého jiného čísla, než bychom zaručeně našli další prvočíslo? Eukleides dokázal, že někde vpředu rozhodně nějaké prvočíslo musí ležet, jak dlouho ale na něj budeme muset čekat? Koneckonců, jsou-li prvočísla volena házením mincí matky Přírody, pak není žádný způsob, jak zjistit, kdy se objeví další „panna“. Posloupnost tisíce „orlů“ je pochopitelně velmi nepravděpodobná, ale není nemožná. Jak Erdős později vysvětloval, dospěl k názoru, že prvočísla nejsou produktem házení mincí. Vypadají možná jako chaotická partička čísel, ale jejich chování není zcela nahodilé.
Byl to vlastně francouzský matematik Joseph Bertrand, kdo v roce 1845 jako první uhodl, jak dlouho je třeba počítat, než potkáme následující prvočíslo. Domníval se, že vezmeme-li libovolné číslo, například 1 009 a prozkoumáme všechna čísla mezi tímto číslem a jeho dvojnásobkem, pak bychom měli mít jistotu, že cestou potkáme nějaké prvočíslo. Mezi čísly 1 009 a 2 018 je prvočísel velké množství, třeba hned 1 013. Bude to ale platit pro libovolné N, které Bertranda zrovna napadne? Nezvratný důkaz tvrzení, že mezi nějakým číslem a jeho dvojnásobkem vždy leží alespoň jedno prvočíslo, se mu najít nepodařilo. Šokující předpověď, již učinil ve věku pouhých třiadvaceti let, nicméně vešla ve známost pod názvem Bertrandův postulát. Postulát se mezi nevyřešenými problémy neohřál tak dlouho, jako třeba Riemannova hypotéza. Pouhých sedm let nato přinesl ruský matematik Pafnutij Lvovič Čebyšev důkaz. Čebyšev využil úvah podobných těm, s jejichž pomocí učinil první krůčky na cestě k důkazu prvočíselné věty, když dokázal, že Gaussův odhad se od skutečného počtu prvočísel nemůže nikdy vzdálit o více než o 11 procent. Jeho metody postrádaly sofistikovanost Riemannových postupů, ale fungovaly. Tedy na rozdíl od házení mincí, kdy skutečně neexistují žádné záruky toho, za jak dlouho se objeví následující orel, prokázal Čebyšev, že pro prvočísla jistá míra předvídatelnosti existuje.
Jeden z prvních Erdősových výsledků, který publikoval v roce 1931 v útlém věku osmnácti let, byl nový důkaz Bertrandova postulátu. K jeho zděšení jej ale kdosi odkázal na jistou Ramanujanovu práci, díky níž zjistil, že jeho důkaz nebyl tak nový, jak doufal. Jeden z posledních Ramanujanových počinů byla myšlenka, která nesmírně zjednodušila Čebyševův důkaz Bertrandova postulátu. Mladý Erdős z toho měl pramalou radost, jeho zklamání však více než vyrovnalo nadšení z toho, že objevil Ramanujana.
Erdős se rozhodl zkusit, zda se dostane dál než Ramanujan a Čebyšev. Začal zkoumat, jak velká by mezera mezi prvočísly mohla být. Otázka rozdílu po sobě jdoucích prvočísel se pak stala problémem, který jej bez přestání fascinoval po celý jeho život. Proslavil se vypisováním odměn za důkazy svých vlastních domněnek. Druhá největší suma, jakou kdy nabídl, a sice 10 000 amerických dolarů, byla vypsána za důkaz jeho domněnky o tom, jak velký ve skutečnosti je prostor mezi dvěma po sobě jdoucími prvočísly.
Problém zůstává otevřený do dnešních dnů a vypsanou cenu stále ještě lze získat, i když Erdős již není mezi živými a nemohl by případný důkaz patřičně ocenit. Ale, jak často s oblibou žertem poznamenával, množství práce, které by pro získání některé z jeho cen bylo třeba vykonat, by nejspíš porušilo zákon minimální mzdy. Jednou neuváženě nabídl 10 000 000 000! amerických dolarů za důkaz domněnky zobecňující Gaussovu prvočíselnou větu.
Připomeňme, že už faktoriál stovky je číslo převyšující počet atomů ve vesmíru, a Erdős se nechal slyšet, že si dost oddychl, když matematik, který v roce 1960 domněnku dokázal, nevznesl na tuto odměnu nárok.
Hned poté, co Erdős přicestoval do Ústavu pokročilých studií koncem 30. let 20. století, o sobě dal parádním způsobem vědět. V Princetonu pobýval Mark Kac, emigrant z Polska, který se zde ukrýval před bouří zachvacující Evropu. Jeho hlavním oborem byla teorie pravděpodobnosti, ale jednou ohlásil přednášku, jejíž název probudil Erdősův zájem. Kac se chystal pohovořit o funkci, která zachycuje počet různých prvočíselných dělitelů daného čísla. Například 15 = 3 × 5 má dva takové dělitele, zatímco 16 = 2 × 2 × 2 × 2 jen jednoho. Takže každé číslo je ohodnoceno číslem udávajícím, kolik různých prvočísel je dělí.
Erdős si pamatoval, že i Hardyho a Littlewooda zajímalo, jakým způsobem tyto hodnoty kolísají. Bylo ovšem třeba nalézt statistika, jakým byl Kac, aby se prokázalo, že toto skóre se vyvíjí zcela nahodile. Kac si všiml, že načrtneme-li graf znázorňující skóre přiřazené každému číslu a budeme počítat se stále vyššími a vyššími čísly, dostaneme statistikům dobře známou křivku připomínající buřinku, neklamný to znak čiré nahodilosti. Kac sice uhodl, jak se bude funkce počítající prvočíselné stavební bloky chovat, postrádal ale dostatečnou zásobu triků z teorie čísel nezbytných k důkazu své předtuchy.
„Poprvé jsem domněnku formuloval v březnu 1939 během přednášky v Princetonu. Naštěstí pro mne a snad i pro matematiku seděl v obecenstvu Erdős, který okamžitě nápadně ožil. Důkaz měl hotový ještě před koncem přednášky.“ Tento úspěch předznamenal Erdősovu celoživotní vášeň pro kombinování teorie čísel s teorií pravděpodobnosti.
Tento text je úryvkem z knihy
Marcus du Sautoy: Hudba prvočísel
Dvě století Riemannovy hypotézy
Argo a Dokořán 2019
O knize na stránkách vydavatele
