Sciencemag.cz
Doporučujeme
Pythagorova věta by platila i předtím, než ji někdo zformuloval. ba i předtím, než existoval vůbec nějaký člověk (intelekt, vědomí…). Tento poměrně samozřejmý pohled na věc je základem matematického platonismu; ten v radikálnější verzi tvrdí, že Pythagovora věta by platila, i kdyby neexistoval žádný vesmír. Z čehož pak téměř vyplývá, že by měl existovat nějaký ne fyzické realitě nezávislý svět obsahující matematické objekty. Tedy jakási verze platónské říše idejí, odtud název.
Jaké jsou hlavní přednosti matematického platonismu a jakým výtkám je tento myšlenkový směr naopak vystaven? Z mnoha stran se tento problém snaží řešit John Barrow v knize Pí na nebesích, jedním z prvních příspěvků na toto téma, který jsme měli v češtině k dispozici.
Vztah mezi matematikou a „světem“ můžeme samozřejmě nahlížet řadou různých způsobů…
Platonismus se v první řadě vymezuje proti konstruktivismu, který uznává pouze pozitivní důkazy, „konstrukce“ (v některých verzích např. odmírá důkaz sporem, použití nekonečen apod.). Podle matematických platoniků nic nekonstruujeme, ale odhalujeme (matematickou) pravdu. Matematici objevují, nevynalézají; podobně jako fyzikové tedy zkoumají realitu nezávislou na nás samých. Proti jiným verzím konstruktivismu, „sociálního“, který matematiku pokládá především za lidský kulturní výtvor, argumentují matematičtí platonikové tím, že některé matematické objevy se dějí nezávisle na sobě. Závažný je také argument, že matematické objevy „přesně korespondují s přírodou“ (poznámka: což ale můžeme připustit i bez toho, abychom byli matematickými platoniky; třeba říct, že matematiku jsme si právě proto vytvořili jako efektivní popis přírody).
Pokud by matematické objekty existovaly nějak nezávisle na fyzikálním světě, vyvstává otázka, jakým způsobem se vlastně dějí matematické objevy. V dialogu Menon Platón líčí svoji představu „anamnesis“, jakési vzpomínky na svět idejí. Nejde přitom o nějaké znalosti z minulých životů – Roger Penrose to přeformuloval tak, že naše mysl má nějakým způsobem přímý přístup k matematickým entitám – „pravdám“. Kurt Gödel pak rovnou postuloval jakousi tajemnou matematickou „intuici“, která je obdobou smyslového vnímání (ne každý musí disponovat všemi smysly, a určitě ne ve stejné míře).
V Gödelově podání byla platónská matematika navíc vyhrocena i proti formalismu, jehož zastánci (Hilbert či jeho žáci) přitom některé aspekty matematického platonismu vlastně také zastávali (třeba mluvili o abstraktním Cantorově ráji apod.). Gödel se na rozdíl od formalistů domníval, že není možné (nebo správné?) konstruovat libovolné axiomatické systémy, ale pouze jeden z nich zachycuje pravdy existující v platónském světě. Pokud je nějaké tvrzení nerozhodnutelné, musíme prostě dodat ty „správné“ axiomy; objektivně musí být buď pravdivé, nebo nepravdivé.
Tato koncepce samozřejmě působí mysticky a navíc neřeší, co přesně do množiny matematických pravd zahrnout. Patří sem třeba nekonzistentní systémy a nepravdivé věty? Čísla jako taková? Banální početní operace? A co třeba „skorokružnice“, bude i jí odpovídat nějaká idea? Je jasné, že musíme pečlivě odlišit, co je hodno účasti ve společnosti ideálních forem.
Otázkou zůstává také vztah „matematických objektů“ k realitě. Už Aristoteles tvrdil, že zde hrozí nebezpečí regresu – pokud je mezi hmotným objektem a ideou nějaké společné „sdílení/spojení“, pak bychom museli předpokládat ještě nějaký zastřešující entitu atd.
Barrow ve svých úvahách pokračuje směrem k otázce, proč matematika koresponduje s realitou. Tento soulad je nejhlubší mimo svět běžného vnímání (kvantová fyzika, superstruny) – to hovoří proti námitce, že matematika je (pouze) produktem naší evoluce a našim předkům přinášela výhodu. Respektive – samozřejmě, že je naše schopnost (i matematicky) zobecňovat výsledkem přírodního výběru, matematičtí platonici ovšem říkají, že to není úplná odpověď. Matematika je něco jiného než chůze po dvou.
V knize Pí na nebesích následují ještě úvahy o tom, jak se lze spojit s platónským světem. Pokud neexistuje vazba mezi tímto a naším světem, jak se vlastně může matematik zmocnit oněch pravd? Ale pokud nějaké spojení existuje, může být svět matematických idejí opravdu tak nehybný a ideální, jak ho líčí jeho zastánci?
A dále: kdy se uskutečňuje kontakt se světem idejí? Při objevu? („Často nepotřebujete nápad, stačí umět dobře počítat.“) Při jeho výkladu nematematikům? Při banální početní operaci? Někteří matematici jako Cantor a Godel na tyto otázky rezignují a přirovnávají objev k náboženskému zjevení… (lze dodat, že mnoho matematiků s tímto názorem mělo současně vážné psychické problémy.) Paul Erdos přímo napsal: „Bůh má nekonečnou Knihu vět, v niž jsou napsány ty nejlepší důkazy. A když je Bůh dobře naladěn, na chvíli vám knihu půjčí.“
Penrosův návrh, který pro kontakt s platónským světem postuluje kvantové vlastnosti lidského mozku, nepřesvědčil prakticky nikoho.
Barrow ve svém výkladu dále popisuje počítačové simulace, ve kterých by se mohlo objevit vědomí. Vědomí by pak bylo vlastností určitých matematických pravidel (realizovatelných na libovolném hardwaru nebo i bez hardwaru – viz také Eganova kniha Město permutací). Vědomí by pak mohly mít i objekty platónského světa. A vlastně – nemohli bychom pak objekty platónského světa být i my sami (takže přirovnání naší „podstaty“ třeba k logické formulce by nebylo od věci). Konstruktivisté by namítli, že program generující vědomí by ovšem musel být spuštěn – podstatná by pak nebyla nějaká „nehybná formulka“, ale fyzická realizace algoritmu. Každopádně by nám naše rozdělení na platónský a hmotný svět mohlo opět zmizet jaksi z druhé strany – zjistili bychom, že platónským světem je všechno.
Někteří kritici mimochodem soudí, že pojem „existence“ nemá pro matematické objekty na rozdíl od věcí žádný rozumný smysl a totéž se pak podle nich týká i diskusí o matematickém platonismu jako takovém.
