Sciencemag.cz
Doporučujeme
Do úloh s pravděpodobností se lze opravdu velmi snadno zamotat. Máme očekávat, že na kostce někdy bude počet hodů všech čísel stejný?
„Řekněme, že budu házet férovou mincí … a budeme počítat, kolikrát která strana padne. Jak se budou tyto počty vyvíjet? Pokud například v jistém okamžiku budou panny významně vést nad orly, řekněme, že jich bude o 100 více, lze očekávat, že orli budou mít tendenci své kolegyně v blízké budoucnosti dohnat?“ uvádí známý popularizátor matematiky Ian Stewart (Jak rozkrájet dort a další matematické záhady, Dokořán, Praha 2009).
Mince samozřejmě nemá paměť. Že padla xkrát červená, z toho nijak vyplývá, že teď padne černá, totéž platí pro konkrétní čísla v hazardních hrách. Jenže z toho nijak nevyplývá, že zase nepadne 100krát za sebou orel. Padne s pravděpodobností blížící je 1 a poměr se (někdy, budeme-li házet dostatečně dlouho) vyrovná. To ovšem ne kvůli tomu, že by mince měla tendenci něco vyrovnávat. Stejně tak dříve či později dojde k tomu, že panny budou nad orly vést o milion – což bychom mohli stejně dobře brát tak, že mince má tendenci, když už jednou nějaký hod vede, pokračovat daným směrem (empiricky je takový závěr dokonce opodstatněný, nicméně stále se zabýváme abstraktní a zcela férovou mincí). Prostě logický závěr by mohl znít, že náhoda a nekonečno způsobí, že všechno je možné a všechno dříve či později nastane. To je sice skutečně logické, ale kupodivu chybné, a to s ohledem na následujíc případ.
„Nyní si ukážeme, jak jsou tyto otázky kontraintuitivní. Představme si, že místo mince budeme házet kostkou a budeme počítat, kolikrát padne každá z hodnot 1 až 6. Předpokládáme, že každá strana má stejnou pravděpodobnost, a to 1/6. V okamžiku, kdy začínáme, jsou body všech stran na nule. Po několika hodech se většinou jednotlivé počty začnou lišit. Samozřejmě potřebujeme nejméně šest hodů, aby vůbec nastala možnost, že se vyrovnají. Jaká je pravděpodobnost, že se někdy v budoucnu po dostatečně vysokém počtu hodů počty všech šesti stran opět vyrovnají? Na rozdíl od panen a orlů tato pravděpodobnost není rovna jedné. Ve skutečnosti je nižší než 0,35,“ překvapuje své čtenáře Stewart.
V obou případech se jedná o náhodnou procházku („opilcovu procházku“, jak zní jiné označení). V případě mince jde o náhodnou procházku v 1 rozměru, u kostky ve 3 rozměrech. Náhodná procházka v 1D má 100% pravděpodobnost, že se příslušný chodec vrátí jednou zase do místa, odkud vyšel. Náhodná procházka ve 3D je na tom návratem jak? Pravděpodobnost je zde pouze 0,35 (poznámka: na rozdíl od 1D ovšem obě úlohy zde nejsou úplně ekvivalentní: ptali jsme se, zda se vyrovnají hodnoty 6 čísel na kostce; u procházky ve 3D platí slabší podmínka, vyrovnat se musejí „protilehlé“ dvojice čísel; čili pravděpodobnost vyrovnání se hodu kostkou je buď 0,35, nebo ještě menší).
Ve 2D je mimochodem pravděpodobnost návratu (a stejně tak pravděpodobnost toho, že člověk ve stavovém prostoru dorazí na libovolné místo) stále rovna 1. Kdo zabloudí na poušti a vydrží neomezeně dlouho bez vody, nakonec na oázu narazí – i když je otázka, proč by ji za těchto podmínek vůbec hledal. Kdo se opilý ztratí při výstupu z rakety v kosmu, už se zpátky dostat nemusí ani v nekonečném čase.
Dá se rozdíl mezi náhodnou procházkou ve 2D a 3D nějak vysvětlit, aby byl pochopitelný selským rozumem? Poučený selský rozum („mince nemá paměť, ale stát se může cokoliv“) by zřejmě požadoval spíše vysvětlení toho, co se stane při přechodu z 2D do 3D. A my, co jsme hráli hry na hrdiny ještě bez počítačů a s kostkami o různém počtu stěn, se můžeme ptát dále. Jak by dopadla pravděpodobnost u kostky s pěti stěnami? Tedy procházka ve 2,5 dimenzích? A navíc: v případě procházky v 1D je problém ekvivalentní s házením mincí. U 2D už to tak být nutně nemusí. Pravděpodobnost, že se vyrovnají hody čtyřstěnnou kostkou, je to totiž buď 1, nebo menší, což nám ale mnoho neřekne.
(Dle Mathworld jde u náhodné procházky v x rozměrech o jakýsi celkem složitý integrál, rozhodně z toho není jinak pochopitelné, proč by se zrovna mezi 2D a 3D mělo dít něco zvláštního – viz zde.)
