Sciencemag.cz
Doporučujeme
Ukážu vám hru, v níž lze geniálním způsobem využít minimální množství informací … Její výsledky jsou tak nepředvídané, že jim někteří matematici zezačátku vůbec nevěřili.
Je to jednoduchá hra. Napíšete na dva papírky dvě různá čísla a položíte je na stůl popsanou stranou dolů. Já jeden papírek otočím a řeknu vám, jestli je číslo na druhém papírku větší či menší. I když se to zdá neuvěřitelné, odpovím správně ve více než polovině případů.
Vypadá to jako kouzlo, ale není v tom žádný trik. Nespoléhám se ani na lidský prvek, tedy na to, jak jste zvolili čísla a jak jste papírky položili na stůl. Pouze díky matematice, a ne díky psychologii, dokážu ve většině případů uhodnout správnou odpověď.
Řekněme, že nesmím otočit ani jeden papírek. V takovém případě mám 50% šanci na výhru. Existují dvě možnosti a jedna z nich je správná. Mohl bych si hodit mincí a měl bych stejnou úspěšnost.
Když ale znám jedno ze dvou čísel, mohu svou šanci na výhru zvýšit tímto způsobem:
(1) Zvolím si náhodné číslo k.
(2) Pokud je k menší než číslo na mém papírku, řeknu, že číslo na druhém papírku je menší.
(3) Pokud je k větší než číslo na mém papírku, řeknu, že číslo na druhém papírku je větší.
Jinými slovy, moje strategie je říct, že číslo na otočeném papírku je větší v případě, že je větší než k. V opačném případě řeknu, že je větší číslo je na neotočeném papírku.
Abychom viděli, proč moje strategie funguje, musíme se zamyslet na hodnotou k vzhledem k oběma číslům na papírcích. Jsou tři možnosti: (i) k je menší než obě čísla, (ii) k je větší než obě čísla, nebo (iii) k leží mezi oběma čísly.
V prvním případě si zvolím číslo na otočeném papírku. Mám 50% šanci na výhru. V druhém případě si zvolím číslo na druhém papírku. Opět mám 50% šanci na výhru. Ale třetí případ je nejzajímavější, protože vyhraju vždy. Pokud jsem otočil menší číslo, vyberu si to druhé, a pokud jsem otočil větší číslo, zůstanu u něj. Pokud moje náhodně zvolené číslo zrovna leží mezi vámi vybranými čísly, pokaždé vyhraju!
(Musím zde podrobněji vysvětlit, jak vybírám k, protože aby moje strategie fungovala, musí k vždy mít možnost ležet mezi jakýmikoli dvěma čísly. Jinak se snadno může stát, že svou výhodu ztratím. Pokud například vždy na papírky napíšete záporná čísla a moje náhodné číslo bude vždy kladné, pak se nikdy nestane, že by moje číslo leželo mezi vašimi čísly, a moje šance na výhru bude vždy 50 %. Mým řešením je náhodně si zvolit číslo z „normálního rozdělení“, které obsahuje všechna kladná i záporná čísla. O normálních rozděleních vám stačí vědět to, že umožňují vybrat náhodné číslo, které má šanci ležet mezi jakýmikoli dvěma čísly.)
Šance, že k bude mezi vašimi čísly, je zpravidla velmi malá. Ale díky tomu, že tato byť i sebemenší šance existuje, začnu po dostatečně dlouhé době častěji vyhrávat než prohrávat. Nikdy předem nevím, jestli současnou hru vyhraju, nebo prohraju. Ale nic takového jsem ani netvrdil. Řekl jsem pouze, že dokážu vyhrát víc než polovinu her. Pokud chcete, aby moje výhoda byla co nejmenší, musíte si vybrat čísla, která k sobě mají co nejblíž. Ale pokud nejsou shodná, vždy existuje šance, že si zvolím číslo, které leží mezi nimi, a proto vždy vícekrát vyhraju, než prohraju.
Tento text je úryvkem z knihy
Alex Bellos: Alex za zrcadlem
Jak se čísla odrážejí v životě a život v číslech
Dokořán 2016
O knize na stránkách vydavatele
Poznámky PH:
Matematici tomu neveřili, já, nematematik, jsem také udiven. Berme, že jde opravdu čistě o matematiku (asi nikdo nebude psát na papírek čísla o astronomickém počtu cifer). První věc, není mi moc jasné, jak vůbec volit náhodná čísla z intervalu mezi – a + nekonečnem (každé má nekonečně malou pravděpodobnost). Dejme tomu, že normální rozdělení toto nějak umožňuje (konečný obsah pod příslušnou křivkou). I pak ale mezi vybranými čísly A a B je konečný počet cifer. Menší než A je nekonečně čísel, větší než B nekonečně čísel. Stále se mi jeví, že doprostřed intervalu se lze tedy trefit pouze s nekonečně malou praděpodobností…
(Námitka z diskuse: Když vybíráme z celých čísel, tak může mít každé z čísel nenulovou pravděpodobnost. Třeba ~1/n^2.)
ty brdo. a fakt. 2/3 sanca na vyhru.
https://play.golang.org/p/sce6zwW-1a
rozmyslal som preco je na uzavretom intervale sanca 2/3.
ide o to, ze ak su 2 cisla nahodne, tak v priemere rozdelia interval na tretiny.
pri popisovanom algoritme je teda vyhra, ak sa trafis do stredu medzi cisla (1/3), alebo do spravneho z krajnych intervalov (1/3). vyslena sanca na vyhru je teda 2/3.
to se ovsem obavam, ze s popisovanym pripadem, nekonecnou ciselnou osou, tohle nema mnoho spolecneho. jsem presvedcen, ze popsane v uryvku nejde, neaodvažuju se ale to tvrdit příliš kategoricky. (nakonec viz i znamy pripad s vyhrou, kdy na jednom papirku je x, na druhem 2x, neexistuje zpusob, jak vyhru optimalizovat a bud si vzit otocenou castku, nebo chtit castku z druheho papirku.)
pravda pravduca
prave preto som pisal o uzavretom intervale …
nekonecna ciselna os (asi) na tretiny rozdelit nejde. tam si tiez netrufam tvrdit, ze vyhra bude nadpolovicna …
Na omezeném intervalu by strategie „je-li moje číslo větší než střed intervalu, řekni že je druhé číslo je menší, jinak řekni větší“ dávala více než 50% úspěšnost (druhé číslo leží pravděpodobněji ve větším intervalu). Ten náhodný generátor vlastně dělá to samé (má střední hodnotu uprostřed intervalu).
zaujumave je, ze tato metoda dava 75% uspesnost … teda vacsiu ako ta v clanku …
Preco asi?
https://play.golang.org/p/7KZHzKtbgG
PS: povodny alg. prepisany, aby bol rovnaky s tymto, len ina funkcia predikcie. Pre porovnanie. cca 66% uspesnost. https://play.golang.org/p/MsBhyI4aPd
Těch 75% úspěšnosti dává smysl (zpětně, po tom, co jste experimentem ověřil kolik to má vyjít 🙂 ) Když první číslo A padne přesně doprostřed intervalu, mám 50% šanci, že uhodnu zda je B větší/menší (tj. nemám žádnou informaci). Pokud A padne na okraj intervalu (je jedno jestli levý či pravý), tak mám 100% šanci, že uhodnu B (zanedbám když se A = B). Bude to tedy střední hodnota rovnoměrného rozdělení mezi 50 a 100, tedy 75.