Sciencemag.cz
Doporučujeme
Rozhodli jsme se upéct dort o mnoha patrech – totiž nekonečně mnoha. Dort se, jak bývá zvykem, bude v každém patře definovaným způsobem zužovat, takže vzniká logická otázka, zda si na jeho výrobu vystačíme s konečným množstvím těsta a polevy.
Předpis pro patra bude následující. Všechna budou stejně vysoká, nicméně poloměr se bude v každém patře zmenšovat jako harmonická řada: 1, 1/2, 1/3, 1/4 atd.
Nejprve tedy objem dortu. Objem každého patra bude záviset na druhé mocnině poloměru, bude tedy vypadat následujícím způsobem: konstanta (h x Pi, viz vzoreček objem válce) x 1, druhé patro x 1/4, třetí patro x 1/9, čtvrté x 1/16. Vznikla nám geometrická řada, součet konverguje a na dort o nekonečném počtu pater tedy vystačíme s konečným množstvím těsta.
Jak to bude s polevou, tedy povrchem dortu? Povrch válce závisí na poloměru s první mocninou (přesněji řečeno, asi bychom polévali jen svislé plochy a na vršku část, kde nebude další patro, ale lineární závislost povrchu na poloměru se tím nijak nezmění). Čili povrch jednotlivých pater bude odpovídat původní harmonické řadě: 1, 1/2, 1/3, 1/4 atd. Tato řada ovšem diverguje, dort bude mít nekonečný povrch. Dejme tomu ho pokryjeme polevou i jen o minimální tloušťce, stejně ale budeme polevy potřebovat nekonečně. Není v tom nějaký rozpor? Zdravý selský rozum se přece vzpírá tomu, aby konečně těsta vyžadovalo k potření nekonečně polevy. Udělali jsme někde chybu? Nebo to selskému rozumu dokážeme nějak vysvětlit?
Zdroj: John. D. Barrow: 100 Essential Things You Didn’t Know You Didn’t Know About Maths and the Arts, W. W. Norton 2016
Já myslim, že selskému rozumu to vysvětlit nedokážeme, protože selský rozum ví, že nekonečno neexistuje. Připomíná mi to obrácený případ toho když se něco dělí. Abych zůstal u jídla vezmu třeba mrkev, ta má jasný objem i povrch, když jí nakrájím tak objem zůstal ale povrch se zvětšil a pokračovat v dělení (krájení) a tím zvěšování povrchu můžu donekonečna.
no, v tomhle pripade se objem nemeni, s tim se selsky rozum vyporada snadno. mozna spis analogie by byla, kdybyste mrkev krajel tak podivne, ze objem (samozrejme) zustane konstantni a povrch poroste, ale k nejake konecne limite. ale je fakt, ze jakmile selsky rozum uveri konvergenci geometricke rady, tak proste co. jen u dortu, co bude sahat nekonecne vysoko, je tak konecnost objemu geometricky hur predstavitelna nez konecnost obsahu pri „skladani nekonecne ctvercu do 1 ctverce“…