autor Continentaleurope, zdroj: Wikipedia, licence obrázku GFDL
autor Continentaleurope, zdroj: Wikipedia, licence obrázku GFDL

Kuriózní nekonečný dort, problém těsta a polevy

Rozhodli jsme se upéct dort o mnoha patrech – totiž nekonečně mnoha. Dort se, jak bývá zvykem, bude v každém patře definovaným způsobem zužovat, takže vzniká logická otázka, zda si na jeho výrobu vystačíme s konečným množstvím těsta a polevy.
Předpis pro patra bude následující. Všechna budou stejně vysoká, nicméně poloměr se bude v každém patře zmenšovat jako harmonická řada: 1, 1/2, 1/3, 1/4 atd.
Nejprve tedy objem dortu. Objem každého patra bude záviset na druhé mocnině poloměru, bude tedy vypadat následujícím způsobem: konstanta (h x Pi, viz vzoreček objem válce) x 1, druhé patro x 1/4, třetí patro x 1/9, čtvrté x 1/16. Vznikla nám geometrická řada, součet konverguje a na dort o nekonečném počtu pater tedy vystačíme s konečným množstvím těsta.
Jak to bude s polevou, tedy povrchem dortu? Povrch válce závisí na poloměru s první mocninou (přesněji řečeno, asi bychom polévali jen svislé plochy a na vršku část, kde nebude další patro, ale lineární závislost povrchu na poloměru se tím nijak nezmění). Čili povrch jednotlivých pater bude odpovídat původní harmonické řadě: 1, 1/2, 1/3, 1/4 atd. Tato řada ovšem diverguje, dort bude mít nekonečný povrch. Dejme tomu ho pokryjeme polevou i jen o minimální tloušťce, stejně ale budeme polevy potřebovat nekonečně. Není v tom nějaký rozpor? Zdravý selský rozum se přece vzpírá tomu, aby konečně těsta vyžadovalo k potření nekonečně polevy. Udělali jsme někde chybu? Nebo to selskému rozumu dokážeme nějak vysvětlit?

Zdroj: John. D. Barrow: 100 Essential Things You Didn’t Know You Didn’t Know About Maths and the Arts, W. W. Norton 2016

Týden na ITBiz: Nový nejvýkonnější superpočítač

Letošní Cebit. Fúze AT&T Time Warner. Za loňský růst ceny bitcoinu prý může tether. Nový …

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close