Sciencemag.cz
Doporučujeme
Víme, že jezdec se může pohybovat po šachovnici rychleji než král, ale jak je to přesně? Matematik Christian Táfula Santos z University of Montreal to spočítal. Jeho důkaz byl zveřejněn na preprintovém serveru arXiv (tj. prozatím bez odborné recenze/oponentury).
Závěr zní, že jezdec může dosáhnout svého cíle v průměru 24/13krát, tedy přibližně 1,85krát rychleji než král. Pokud jezdec doskáče na dané pole za 13 tahů, králi bude k dosažení stejného pole ze stejného výchozího potřebovat přibližně 24 tahů. (Poznámka: To je podle původní tiskové zprávy; smysl to má pro nekonečnou nebo alespoň hodně velkou šachovnici, na 8 x 8 samozřejmě král z libovolného pole na libovolné pole dojde za maximálně 7 tahů.) Zajímavé však není ani tak řešení, jako spíše metoda. Táfula Santos využil práce matematika Askolda Khovanskiiho (ponechána anglická transkripce; jde o ruského matematika nyní působícího v Kanadě), který popsal, jak určité množiny čísel rostou, když se čísla z množiny stále sčítají.
Táfula Santos v rámci své práce vytvořil speciální „figurku“. Nahradil tradičního jezdce a jeho pohyb ve tvaru písmene L „superjezdcem“ (super-knight), který se pohybuje o X políček jedním směrem a o Y políček druhým (kolmým na první). X a Y jsou nesoudělná čísla a jejich součet navíc musí být lichý (tj. jedno sudé a jedno liché číslo). Vlastně jde tedy o „zobecnění“ jezdce.
Rychlost superjezdce závisí samozřejmě na hodnotách X a Y Pokud například x = 2 a y = 3, je poměr rychlosti superjezdce a krále je 90/31, takže superjezdec je v průměru asi 2,9krát rychlejší než král. A jsou-li jsou X a Y Fibonacciho čísla, výsledné rychlosti (poměr rychlosti superjezdce a krále) jsou spojeny zlatým řezem, což odpovídá chování Fibonacciho posloupnosti (superjezdec je rychlejší 1,618krát).
Co se pak týče běžného jezdce, sice může dosáhnout některých polí dvakrát rychleji než král, jeho průměrná rychlost ale není dvojnásobná (což si prý lidé často intuitivně myslí). Na diagonálách král s jezdcem drží krok nejlépe, jezdec je zde v průměru pouze 1,5krát rychlejší. (PH: Počítám-li dobře: z a1 na h8 potřebuje jezdec 6 tahů, král 7. Z a1 na g7 jezdec 4 tahy, král 6.)
„Můj výzkumný projekt přesahuje rámec šachovnice,“ uvádí Táfula Santos. „Navazuje spojení mezi různými odvětvími matematiky, včetně teorie čísel, geometrie a kombinatoriky, a otevírá perspektivy pro studium dalších objektů a pohybů v prostorech s více než dvěma rozměry.“
Christian Táfula, Knights are 24/13 times faster than the king, arXiv (2024). DOI: 10.48550/arxiv.2405.19589
Zdroj: University of Montreal / Phys.org
