Sciencemag.cz
Doporučujeme
Známý bonmot Leopolda Kroneckera (1823–1891) z nekrologu M.Webera říká: Přirozená čísla stvořil Bůh; vše ostatní je lidský výmysl.
Možná ale, že Bůh stvořil přirozená čísla až teprve prostřednictvím pythagorejců. Starobabylónská šedesátková soustava neměla totiž poziční tečku, takže zápis čísla toto číslo určoval až na faktor 60 na n, kde n mohlo být i záporné. Nezdá se ani, že by se počítání (určování počtu) rozlišovalo od měření (viz Høyrup [43]). K vymezení přirozených čísel dochází v pythagorejské filosofii, která v číslech viděla princip všeho jsoucího.
V Eukleidových Základech se již od sebe ostře oddělují oblasti (přirozených diskrétních) čísel a spojitých veličin. V moderní době se tato dichotomie stírá a přirozená čísla se někdy považují za speciální případ čísel reálných.
Na konstituci přirozených a racionálních čísel se podílí prostorovost a geometrie, která umožňuje rozlišovat počítané či měřené věci a dává nahlédnout algebraické identity, které čísla svazují. Přirozená čísla jsou konstituována principem úplné indukce, ve kterém se odhaluje jev nekonečna.
Každé přirozené i racionální číslo má svou nezaměnitelnou identitu a individualitu, je jednoznačně určeno svými vztahy k ostatním číslům a odlišuje se od nich svými vlastnostmi. Je definovatelné, to znamená, že je to jediný matematický objekt, který splňuje určitou formuli predikátového počtu.
Přirozená čísla N se konstituují jako uspořádaná struktura s operacemi sčítání, násobení a umocňování. Od nich se odvozují všechny další číselné struktury. Některé vznikají uzavíráním na inverzní aritmetické operace odčítání, dělení a odmocňování. Prvky těchto číselných struktur lze chápat jako formální výrazy. Ale zacházíme s nimi jako s čísly, platí pro ně stejné nebo podobné algebraické zákonitosti jako pro čísla, proto je metaforicky za čísla považujeme. Tak vznikají čísla racionální Q, záporná Z a algebraická A. Někde na této cestě se vynoří číslo nula. Nejpozději při konstituci záporných čísel, ale spíše již dříve v souvislosti s pozičními číselnými soustavami.
Ale algebraická čísla nestačí k tomu, abychom mohli poměřovat geometrické kontinuum a abychom mohli pracovat s důležitými goniometrickými a exponenciálními funkcemi. K tomu potřebujeme alespoň čísla algoritmická RA a CA, která vznikají jiným způsobem – jako limity posloupností racionálních čísel. Je možná dílem historické náhody, že algoritmická čísla byla vymezena teprve ve dvacátém století, dlouho poté, co byla v devatenáctém století exaktně definována reálná čísla R. V pojmu cauchyovské posloupnosti racionálních čísel jako předpisu, který přirozeným číslům přiřazuje čísla racionální, totiž docela dobře můžeme pojem algoritmu zahlédnout. Ale v devatenáctém století nebyl ještě obecný pojem algoritmu vypracován, i když příklady algoritmů (Eukleidův algoritmus, aritmetické algoritmy v pozičních číselných soustavách) byly dobře známy.
Při postupném rozšiřování přirozených čísel na čísla racionální Q, algebraická A a algoritmická RA zůstává zachována jejich definovatelnost. Každé algoritmické číslo je definováno svým programem (Turingovým automatem) a má svou nezaměnitelnou identitu. To již neplatí pro čísla reálná R ani komplexní C. Především proto, že je jich nespočetně mnoho, a nelze je tedy všechny popsat konečnými slovy. V ještě vyostřenější podobě to vidíme u čísel nestandardních *R a *C. Vzhledem k tomu, že ultrafiltr rozšiřující Fréchetův filtr není definovatelný, není definovatelné ani žádné nestandardní číslo.
Na druhou stranu ale vidíme, že při přechodu od standardních k nestandardním číslům se diferenciální a integrální počet zjednodušuje. Definice i důkazy vět jsou intuitivnější a jednodušší. Nedefinovatelná reálná, komplexní a nestandardní čísla jsou fantomy z matematického zásvětí, se kterými se sice nikdy nesetkáme, ale díky nim struktury reálných a komplexních čísel získávají důležité geometrické a topologické vlastnosti, zejména úplnost a souvislost. Omezíme-li se pouze na algoritmická čísla, získáme sice cenné náhledy na výpočty s reálnými čísly, diferenciální a integrální počet se ale komplikuje. Při důkazech je třeba ověřovat algoritmičnost zkoumaných konstrukcí. Problém je i nemožnost studovat v tomto pojetí nespojité funkce, které hrají, například
v teorii Fourierových řad, podstatnou úlohu.
Viděli jsme, že ke zjednodušením a lepším intuitivním náhledům dochází i při přechodu od čísel přirozených k číslům záporným a komplexním. Zjednodušuje se teorie diofantických rovnic i rovnic algebraických. Komplexní čísla zjednodušují diferenciální a integrální počet i teorii Fourierových řad. Holomorfní funkce lze rozvinout v mocninnou řadu v okolí každého bodu jejich definičního oboru a jsou touto mocninnou řadou jednoznačně určeny. V teorii holomorfních funkcí se tak objevují podivuhodné symetrie a estetické kvality, které v reálné analýze chybí. Roger Penrose [70] proto v komplexních číslech nalézá předzjednanou harmonii:
V matematice jsou věci, pro které je objev mnohem vhodnější pojmenování než vynález. Jsou to ty případy, kdy (matematická) struktura dává ze sebe mnohem více, než je do ní vloženo. Pak lze přijmout pohled, že matematici narazili na ”Boží dílo“. Jsou však jiné případy, kdy matematická struktura nemá tak přesvědčující jedinečnost, jako například když uprostřed důkazu nějakého výsledku matematik zavádí jakousi důvtipnou konstrukci, aby dosáhl specifického cíle. Pak obvykle struktura nedává více, než je do ní vloženo a slovo ”vynález“ je vhodnější než ”objev“. Jedná se pak o pouhá lidská díla. Na skutečné matematické objevy se díváme jako na větší výkony či aspirace, než by byly pouhé vynálezy. Takováto kategorizace není zcela nepodobná tomu, jak oceňujeme umělecká nebo inženýrská díla. Velká umělecká díla jsou vskutku ”bližší Bohu“ než ta běžná. Umělci mají nezřídka pocit, že ve svých největších dílech objevují věčné pravdy, které mají jistý druh předběžné éterické existence, zatímco jejich menší díla jsou svým způsobem
libovolná na způsob lidských konstrukcí. …
Nemohu se ubránit pocitu, že v matematice je důvod pro víru v jistý druh éterické věčné existence přinejmenším těch hlubších matematických pojmů o dost silnější než v ostatních případech. V takových matematických ideách je jakási přesvědčivě působící (compelling) jedinečnost a univerzalita, která se zdá být zcela jiného druhu, než jakou lze očekávat v umění či inženýrství (Penrose [70, str. 96]).
tento text je úryvkem z knihy:
Kůrka, Petr – Velický, Bedřich: Hermeneutika a metaforika čísel
Od počtů ke kvantové mechanice
Karolinum 2021
O knize na stránkách vydavatele
