Sciencemag.cz
Doporučujeme
Prvočísly jsou posedlí nejen profesionální matematici. Popularitu získaly například projekty pro nacházení co největších prvočísel, dobře známý je problém prvočíselných dvojic, prvočísel se týká i Riemannova hypotéza, které bývá řazena mezi 7 největších problémů současné matematiky.
O prvočíslech předpokládáme, že jsou, pomineme-li jejich klesající frekvenci, mezi složenými čísly rozložena víceméně náhodně. Kannan Soundararajan a Robert Lemke Oliver ze Stanford University ale nyní tvrdí, že to kupodivu není pravda. Ke zpracování využili prvních 100 milionů prvočísel a na náhodně vybraném vzorku provedli následující test. Vzali si prvočísla končící na 1 (poslední cifra) a podívali se na to, jaké prvočíslo bude následovat. Ukázalo se, že další prvočíslo má jedničku jako poslední cifru v 18,5 % případů. Což je divné, protože prvočísla by měla končit na 1, 3, 7 nebo 9 náhodně, čili očekávaná hodnota by byla 25 %. Číslice 3 a 7 se na konci „následujícího prvočísla“ ovšem vyskytovaly asi ve 30 % případů, devítka ve 22 %.
Samozřejmě nás napadne jednoduché vysvětlení: Například po čísle 41 nejprve jako potenciální prvočíslo následuje 43, pak 47, 49 a 51, k dalšímu číslu končícímu na 1 to nějakou dobu trvá a zde se často vyskytne další prvočíslo. Proto to vypadá, jako by se poslední cifra u prvočísel po sobě „nechtěla opakovat“. Jenže takhle se situace vysvětlit nedá. U větších čísel jsou už prvočísla tak řídká, že by to nemělo hrát roli, k číslu o 10 většímu se většinou dojde. A za druhé, popsaný mechanismus stejně neodpovídá tomu, co najdeme v datech. Po prvočísle končícím na 3 prý totiž následuje častěji prvočíslo končící na 9 než na 7, tj. které je (respektive jeho poslední cifra je) na ose „dál“. Devítka je po trojce mimochodem častější i než jednička.
I když se analýza rozšířila na biliony (trillions) prvočísel, tyto rozdíly stále přetrvávaly, byť se postupně více blížily náhodnému opakování/rozdělení. Data jsou k dispozici ArXiv.org, lze předpokládat, že se v nich teď budou matematici i další zájemci usilovně hrabat. Například James Maynard z University of Oxford pro New Scientist uvedl, že výsledky ho velmi překvapily a než jim uvěřil, musel si sám všechno zkontrolovat – ale prý už závěry bere na vědomí. Vše by podle něj mohlo souviset s jednou již starší, ale stále nedokázanou domněnkou (tzv. k-tuple conjecture) o tom, jak prvočísla svým rozmístěním na číselné ose vytvářejí „vzory“ (nemusí jít jen o dvojice, jako v uváděném příkladu, ale i o trojice či větší sady sousedních prvočísel).
Zdroj: ScienceAlert.com
Poznámky:
Nějaká taková „závislost“ ale vyjde vždycky, i když tady jsou procentuální odchylky značné…? Dobře, otestujete závislost na jiném souboru dat („falzifikujete hypotézu“), jenže i potom se nějaká „závislost“ potvrdí. Nehledě k tomu, že lze předem najít velký soubor, kde něco – třeba náhodně – platí, ten pak rozdělit na dva (nejspíš to bude platit v obou) a dá se říct: na tomto jsme si povšimli X a stanovili hypotézu, zde se X potvrdilo, respektive se ho nepodařilo vyvrátit. Samozřejmě lze takto získat zajímavé vstupy, na něž se pak nasadí rigoróznější prostředky.
Říká nám poslední číslice u sousedních prvočísel něco hlubšího, když víme, že desítková soustava je arbitrární? Jak by vlastně ona objevená nepravidelnost vypadala třeba v soustavě dvojkové? (Nepravidelnost tam samozřejmě bude, protože to je vlastnost čísel, nikoliv jejich zápisu; „uvidíme“ ji ale?)
Tak jsem to dočetl do půlky pak jsem nabyl dojmu že mícháte jablk a hrušky. To že číslo je prvočíslo záleží na jeho hodnotě, to že číslo končí jedničkou, záleží na jeho hodnotě a formě a totéž číslo v jiné formě končit jedničkou nemusí, …. víte že až na nulu, ÚPLNĚ všechna prvočísla ve dvojkové soustavě končí jedničkou ? o čem je pak první polovina článku ?
s „michanim“ cisla a konkretniho zapisu v desitkove soustave bych si dovolil nesouhlasit … anomalie v rozlozeni bude samozrejme i v jine soustave, jen tam nebude
tak zretelne viditelna. (takze dejme tomu, ze kdybychom pouzivali
dvojkovou soustavu, tak to nikdo nebude zkoumat, nikdo si asi nepolozi
takovou otazku, to jo)
Rad prvočísel nie je vôbec náhodný. V prípade záujmu hocikomu predstavím, akým spôsobom sú usporiadané v rade „N“ čísel a akým spôsobom ich dokážeme postupne všetky nájsť. Viac na miroslav.zidek@blog.sme.sk
Ciste pro poradek, prvocislo 2 v binarni soustave jednickou nekonci a 0 neni prvocislo.