Foto: © Oleksiy Mark / Dollar Photo Club
Foto: © Oleksiy Mark / Dollar Photo Club

Řád a chaos v dynamických systémech

Entropie binárních posloupností. Sinajův kulečník. Abelovu cenu za matematiku získal v roce 2014 Jakov Sinaj.

Prolog
Dne 26. března 2014 oznámil předseda Norské akademie věd Nils Christian Stenseth, že Abelovu cenu za rok 2014 získá ruský matematik prof. Jakov G. Sinaj za své fundamentální příspěvky k teorii dynamických systémů, ergodické teorii a matematické fyzice.
V pondělí 19. května 2014 se J. Sinaj nejprve zúčastnil kladení květin a věnců u památníku Nielse Henrika Abela v královské zahradě v Oslu (viz obr. 12.1). Následující den pak laureát převzal Abelovu cenu v hlavní aule univerzity v Oslu. Večer pak Norská akademie věd uspořádala slavnostní banket na počet prof. Sinaje na zámku Akershus.
Dne 21. května J. Sinaj proslovil na univerzitě v Oslu odbornou laureátskou přednášku Now everything has been started? The origin of deterministic chaos. Poté následovaly tři abelovské přednášky shrnující laureátovo dílo. První proslovil Gregory Marguli, nositel Fieldsovy medaile, na téma Kolmogorov–Sinai entropy and homogeneous dynamics.
Jako druhý vystoupil Konstantin M. Chanin s přednáškou Between mathematics and physics. Ve třetí přednášce Mathematical billiards and chaos se Domokos Szász pokusil odpovědět na otázku, zda může náhodné chování vzniknout v čistě deterministických systémech. O den později pronesl prof. Sinaj ještě další přednášku popularizující matematiku pro studenty na univerzitě ve Stavangeru.
Profesor Sinaj je uznávanou osobností jak mezi matematiky, tak mezi fyziky. Pracuje v Matematickém ústavu na univerzitě v Princetonu a Landauově ústavu pro teoretickou fyziku Ruské akademie věd. Není proto divu, že je autorem stimulujícího článku Mathematicians and physicists = Cats and dogs? [14], v jehož závěru se svěřuje: Obvykle fyzikům nedůvěřuji, dokud nenaleznu svůj vlastní důkaz nebo alespoň objasnění jejich výsledků.
Jakov Sinaj získal Abelovu cenu mj. za práce svazující teorii deterministických dynamických systémů s teorií stochastických systémů. Je po něm pojmenována celá řada matematických pojmů, např. Kolmogorovova–Sinajova entropie, Sinajův kulečník (billiards), Sinajova náhodná procházka, Sinajova–Ruelleova–Bowenova míra či Pirogovova–Sinajova teorie.

12.2 Stručný životopis
Jakov Grigorjevič Sinaj se narodil 21. září 1935. Oba jeho rodiče byli mikrobiologové. Dědeček z matčiny strany, matematik Veniamin Fjodorovič Kagan, byl vedoucím oddělení diferenciální geometrie na Moskevské státní univerzitě (MGU) a hodně se svému vnuku Jakovovi věnoval.
Jakov Sinaj začal studovat v roce 1952 na Fakultě mechaniky a matematiky MGU. V roce 1957 úspěšně zakončil studium, v roce 1960 získal vědecký titul kandidáta věd a o tři roky později i velký doktorát. Jeho školitelem byl slavný ruský matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov. Na MGU se J. Sinaj aktivně účastnil semináře o ergodické teorii.
Již v roce 1962 měl Sinaj zvanou přednášku na Mezinárodním kongresu matematiků ve Stockholmu (celkem přednášel na těchto kongresech čtyřikrát). V letech 1960–1971 působil jako vědecký pracovník v laboratoři pravděpodobnostních a statistických metod MGU. Poté se stal profesorem na MGU a vedoucím vědeckým pracovníkem v Landauově ústavu teoretické fyziky Ruské akademie věd. Tento ústav byl založen v roce 1964 ve městě Černogolovka asi 40 km severně od Moskvy.
Profesor Sinaj vyškolil více než 50 Ph.D. studentů. Je velice respektovaným pedagogem na univerzitě v Princetonu. Jeden z jeho studentů o něm prohlásil: Být v jeho třídě je velice inspirativní . . . Přítomní cítí okamžitou potřebu vstoupit do děje — vyzařuje z něj hmatatelné nadšení, které nás inspiruje.
V roce 1997 byl Jakov Sinaj oceněn prestižní Wolfovou cenou. V letech 1997–1998 působil na Princetonské univerzitě a v roce 2005 nastoupil na Kalifornský technologický ústav v Pasadeně. V roce 2001 byl zvolen předsedou výboru Mezinárodní matematické unie, který uděloval Fieldsovy medaile další rok na kongresu v Pekingu. V roce 2002 mu byla udělena Nemmersova cena za matematiku. Během života získal mnoho dalších ocenění, např. Diracovu medaili či Boltzmannovu zlatou medaili. Čestný doktorát mu udělila Varšavská univerzita (1993), Budapešťská univerzita (2002), Hebrejská univerzita v Jeruzalémě (2005) a univerzita ve Warwicku (2010). Profesor Sinaj byl zvolen členem, popř. čestným členem mnoha akademií a vědeckých společností, např. Americké akademie umění a věd (1983), Ruské akademie věd (1991), Londýnské matematické společnosti (1992), Maďarské akademie věd (1993), Americké národní akademie věd (1999), Brazilské akademie věd (2000), Academia Europaea (2008), Polské akademie věd (2009) a Londýnské královské společnosti (2009).

Řád a chaos v dynamických systémech
Pod pojmem dynamický systém chápeme matematický popis a vývoj nějakého fyzikálního systému v čase. Systém má obvykle mnoho přípustných stavů, které tvoří tzv. fázový prostor. Cesta ve fázovém prostoru pak popisuje dynamiku uvažovaného systému. Dynamický systém může být čistě deterministický, např. systém diferenciálních rovnic 1. řádu popisující pohyb kyvadla. Ze zadané polohy a rychlosti můžeme jednoznačně vypočítat jeho budoucí stavy. Druhým extrémem je stochastický systém, jehož budoucí vývoj je zcela nejistý, např. házení mincí.
Již od dob Isaaca Newtona používají matematici, fyzici a inženýři diferenciální rovnice, aby vysvětlili rozmanité přírodní jevy a předpověděli, jak se budou vyvíjet v čase. Mnohé z těchto rovnic obsahují též stochastické členy vyjadřující jistou nahodilost. Široké spektrum moderních aplikací deterministických i stochastických evolučních rovnic popisuje pohyby planet, oceánské proudy, fyziologické cykly, populační dynamiku, elektrické obvody aj. Přitom chování některých systémů lze předpovědět s vysokou přesností, zatímco jiné se zdají být chaotické s naprosto nepředvídatelným chováním. Takto je řád a chaos důvěrně spojen. Můžeme najít chaotické chování v deterministických systémech (viz např. [8, s. 202]). Na druhé straně statistická analýza může zase vést k některým definitivním předpovědím.
U většiny dynamických systémů máme dobrý přehled o tom, co udělá systém na krátkých časových intervalech, zatímco dělat dlouhodobé předpovědi je velice obtížné. Typickým příkladem je problém předpovědi počasí, když máme v pevném čase zadáno rozložení teploty, tlaku, vlhkosti apod., což je bod ve fázovém prostoru. Správná předpověď počasí na 10 minut dopředu je jistě mnohem realističtější
než na 10 dní. V roce 1982 J. Sinaj napsal společně s I.P. Cornfeldem a slavným ruským matematikem S. V. Fominem obsáhlou monografii [3] o ergodické teorii. Sergej Vasiljevič Fomin se bohužel jejího vydání nedožil. Ergodická teorie studuje pohyby v tzv. měřitelném prostoru (M,S), kde M je daný abstraktní prostor a S je σ-algebra podmnožin množiny M, tj. neprázdný množinový systém obsahující s každou množinou také její doplněk v M a s každým nejvýše spočetným systémem množin také jeho sjednocení. Na M se obvykle definuje míra μ a pak se uvažuje trojice (M,S, μ), jež se nazývá prostorem s mírou. Pokud μ(M) = 1, pak hovoříme o pravděpodobnostním prostoru a μ se jmenuje pravděpodobnostní míra.

Tento text je úryvkem z knihy:
Michal Křížek a kol.: Abelova cena
Academia 2018
O knize na stránkách vydavatele

Celá ukázka ve formátu PDF, včetně matematického formalismu a popisu samotné Sinajovy práce.

Co když se velké fyzikální experimenty neuskuteční?

Mám obavy, že nebudu znát odpovědi na otázky, na kterých mi záleží. Bojím se, že …

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close