Teorie grup, symetrie a kombinatorika

Teorie grup se stala „oficiálním“ jazykem symetrií, třebaže původně s tímto ambiciózním cílem navržena nebyla. Prominentní role, kterou v teorii grup hrají permutace, může vypadat na první pohled docela překvapivě. Zatímco symetrie koneckonců většinou plně vnímáme, permutace naopak vůbec nevypadají jako něco, co by nás v každodenním životě nějak nápadněji zasahovalo. Permutace se však v životě opravdu projevují, byť nenápadně, a někdy je to na těch nejneočekávanějších místech.

Zamysleme se nad nanejvýš důležitou otázkou nalezení partnera ke společnému životu. Tu správnou spřízněnou duši hledá každý v rámci sledu náhodných setkání. Jak ale člověk pozná, že našel tu pravou nebo toho pravého? Funguje to snad jako ve filmech, a když jej nebo ji spatříme, okamžitě poznáme, že nikdo takový na celém světě není? Nebo, abychom si vypůjčili slova jedné z postav filmu Lásce na stopě (Serendipity), kdy bychom měli přestat s hledáním „pana Pravého“ či „slečny Pravé“ a spokojit se s „panem (slečnou) Protentokrát to ujde“?
Budeme-li chtít převést tento pro život zásadní problém do snáze řešitelné podoby, pomůže nám několik zjednodušujících předpokladů. Dejme tomu, že průměrný muž či žena se v příslušném období svého života setká se čtyřmi lidmi, kteří by se dali považovat za potenciální životní druhy (situace s jinými počty kandidátů probereme později). Dále předpokládejme, že tyto čtyři kandidáty bude hledající schopen seřadit od nejhoršího (označeného 1) po nejvhodnějšího (označeného 4) tak, aby žádné hodnocení nebylo stejné. Život nám obvykle nenabízí přepych pozorovat všechny potenciální partnery najednou. Společenská pravidla chování spolu s obyčejnou slušností navíc hledajícím za normálních okolností brání vracet se k již dříve odmítnutému uchazeči. Spíše je to tak, že tok života unáší muže a ženy sledem setkání odehrávajích se v náhodném pořadí.
V důsledku toho pro čtyři potenciální partnery platí, že stejnou pravděpodobnost má každá z následujících 4!, tedy 24 permutací pořadí setkání:

1234, 2134, 3124, 4123, 1243, 2143, 3142, 4132, 1324, 2314, 3214, 4213, 1342, 2341, 3241, 4231, 1423, 2413, 3412, 4312, 1432, 2431, 3421, 4321

Posloupnost 3142 například znamená, že hledající se nejprve setká s druhým nejlepším kandidátem, poté s nejhorším, při třetím setkání se seznámí s nejlepším možným partnerem a nakonec s druhým nejhorším. Čekání na to, že pan Pravý či slečna Pravá se objeví jako poslední, by v tomto případě nevedlo k dobrému výsledku. Je také možné, že příliš dlouhé hledání by vedlo ke snižujícímu se výnosu celé snahy. Co by tedy chudáci mladí (i ti starší) lidé měli dělat? Čili konkrétně, jak mohou lovci manželek a naháněčky manželů maximalizovat své šance na získání nejlepšího partnera?

První, co si uvědomíme, je, že k řešení těchto (jistě zjednodušených) problémů vskutku existuje obecná strategie. Je-li počet potenciálních partnerů 4, pak je zapotřebí nejprve zvolit číslo, označme jej k, mezi 1 a 4. Po setkání a otestování k – 1 potenciálních partnerů se zvolí první, jenž byl z dosud prověřovaných lepší než všichni dosavadní (pokud není lepší, pak se vybere ten poslední). Například je-li k = 2, bude cílem pečlivě zvážit prvního kandidáta (k – 1 = 1) a poté zvolit prvního potenciálního partnera, jenž je lepší než ten, který již prošel testem (připomeňme, že se předpokládá nemožnost návratu k předchozímu možnému partnerovi).
Odůvodnění takové strategie je jasné – na jedné straně plně využívá výhody již shromážděných informací, na druhé toho, že budoucnost neznáme. Obecná strategie nám však neřekne, jakou hodnotu dosadit za k. K tomu musíme zjistit, jaká hodnota vede k nejvyšší pravděpodobnosti výběru nejlepšího kandidáta (ze čtyř). Například k = 1 (k – 1 = 0) znamená, že vybrán bude hned první kandidát. Aby se takto došlo k nejlepšímu, musela by nastat jedna ze šesti permutací pořadí setkání, při níž se na počátku objevuje číslo 4: 4321, 4312, 4231, 4213, 4132, 4123.
Jasně vidíme, že pravděpodobnost vyplnění jedné z těchto šesti permutací z celkového počtu 24 je jedna ku čtyřem. Kdo hledá partnera a ještě se s žádným možným nesešel, má šanci jedna ku čtyřem, že najde toho nejlepšího na první schůzce. Totéž platí pro k = 4. V tom případě (k – 1 = 3) se sází na to, že čtvrtý a poslední kandidát bude lepší než předešlí tři. To odpovídá opět šesti permutacím 3214, 3124, 2314, 2134, 1324 a 1234, kde pravděpodobnost je zase jedna ku čtyřem.
Pro k = 3 (k – 1 = 2) se hledající setká se dvěma potenciálními partnery a pak volí prvního, který přijde po nich a bude lepší než předchozí dva. Permutace, z nichž vyplyne nejlepší volba, v tomto případě jsou: 3241, 3214, 3142, 3124, 2341, 2314, 2143, 1342, 1324, 1243. Kdyby kupříkladu pořadí setkání bylo 3241, pak by se hledající setkal nejprve s kandidáty 3 a 2, a poté by vybral číslo 4, protože tento adept by byl lepší než dosavadní dva. Při pořadí 3214 třetí kandidát (číslo 1) není lepší než první dva, takže hledání pokračuje a vede k číslu 4.
Seznam permutací pro k = 3 ukazuje, že zde existuje deset permutací, které povedou k nejlepšímu výběru. Šance na úspěch je tudíž 10 / 24 čili asi 42 procent. Nakonec při k = 2 (k – 1 = 1) lze zvolit prvního kandidáta, který bude lepší než ten z prvního seznámení. Můžeme si ověřit, že permutace vedoucí k „ulovení“ čísla 4 v tomto případě jsou: 3421, 3412, 3241,3214, 3142, 3124, 2431, 2413, 2143, 1432, 1423. Když tedy nadejde pořadí například 3412, bude již druhý kandidát lepší než první, takže bude vybrán on. Pokud se však uskuteční pořadí 3214, pak hledající odmítne druhého i třetího adepta, jelikož nejsou lepší než první, a počká na poslední možnost. A jelikož k = 2 vede k žádanému výsledku v 11 ze 24 případů a pravděpodobnost úspěchu je zde asi 46 procent, je právě to při čtyřech kandidátech ta nejlepší strategie. Podobný výpočet ukáže, že pokud je počet potenciálních partnerů 5, 6, 7 nebo 8, pak nejvyšší šance dává volba k = 3. Jestliže je počet možných seznámení 9 nebo 10, budou šance hledajícího maximální při k = 4.

Tento text je úryvkem z knihy

Mario Livio: Neřešitelná rovnice – Matematika a jazyk symetrií, Argo a Dokořán 2011
O knize na stránkách vydavatele
obalka-knihy

Casimirův jev – proč se desky ve vakuu k sobě přitahují

Heisenbergův princip neurčitosti se nevztahuje jen na měření prováděná lidmi, ale podobně jako zákony termodynamiky …

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close