(c) Graphicsstock

Božské vlastnosti čísel

Historik Lukianos vypráví, že Pythagoras tuto vlastnost přirozených čísel propojil s pythagorejskou úctou k číslům. Jednoho dne řekl členovi své sekty, ať počítá. Muž začal: 1, 2, 3, … Když došel ke 4, Pythagoras ho zarazil a řekl mu: „Vidíš? To, co považuješ za 4, je 10, dokonalý trojúhelník a naše přísaha.“ Pythagorejci skutečně považovali 10 za velmi zvláštní číslo.
Pythagoras a jeho stoupenci se dívali na číslo 1 jako na původce všech dalších čísel a ztělesnění rozumu. Dva, první sudé číslo, bylo podle nich ženské a představovalo názor. Tři bylo první „skutečně mužské“ číslo, obraz harmonie, protože spojovalo jak jednotu (1), tak rozmanitost (2). Číslo čtyři představovalo spravedlnost či odplatu, neboť bylo spojováno s „vyrovnáním účtů“. Číslo pět – protože to je spojení prvního skutečně mužského čísla (3) a prvního ženského čísla (2) – bylo obrazem manželství. Číslo šest představovalo stvoření (a je prvním „dokonalým číslem“, jak brzy uvidíme) a sedm byl počet „putujících hvězd“, tehdy známých planet. (Vedle Slunce a Měsíce znali pythagorejci jen pět dalších planet – Mars, Merkur, Jupiter, Venuši a Saturn –, podle nichž byly v latině pojmenovány dny v týdnu. Dodnes je to zjevné například na některých jejich anglických názvech – Sunday, Monday a Saturday odpovídají Slunci, Měsíci a Saturnu. Na zbývajících dnech, od úterý do pátku, je spojitost s názvy planet zjevná například ve francouzštině: Mardi, Mercredi, Jeudi a Vendredi.)
Číslo 10 bylo považováno za nejposvátnější ze všech, odtud Pythagorovo tvrzení ve výše zmíněném příběhu. Dokonce mělo zvláštní jméno, tetraktys, z řeckého slova pro čtyřku (tettares), odkazující na počet bodů ve straně trojúhelníkové podoby čísla. Deset představovalo celek vesmíru a zároveň součet čísel, která představují všechny možné rozměry v prostoru, ve kterém žijeme. (Číslo 1 představuje bod nulového rozměru; 2 představuje jednorozměrnou přímku, která vzniká spojením dvou bodů; 3 představuje dvojrozměrnou rovinu, protože tři body, které neleží na téže přímce, určují trojúhelník; 4 body, které neleží v téže rovině, tvoří trojrozměrný tvar, a představují tak trojrozměrný prostor. A 1 + 2 + 3 + 4 = 10.) Pythagoras a jeho stoupenci prohlásili číslo 10 svou „nejvyšší přísahou“ a také „principem zdraví“. Deset máme samozřejmě také prstů na rukou a na nohou, z čehož se vyvinula celá naše desítková číselná soustava, která nakonec vytlačila šedesátkovou soustavu Babyloňanů a Asyřanů. Podobně jsou ve francouzštině, která pro číslo 80 používá slovo quatre-vingt (čtyři dvacítky), stále zjevné stopy po dvacítkové soustavě (která se nejspíš vyvinula na základě toho, že dvacet máme prstů na rukou a nohou dohromady).
Pythagora zajímala také čtvercová čísla – další množina „geometrických“ čísel vedle čísel trojúhelníkových. Tak jako trojúhelníková čísla tvoří trojúhelníky, mohou být čtvercová čísla poskládána do čtverců. První čtvercové číslo je 1 (pakliže předpokládáme, že tvoří spíš čtverec než kruh; vždyť 1 na 2 = 1). Dalším čtvercovým číslem je 4, pak 9, pak 16 a tak dále.
Chceme-li postoupit od jednoho čtvercového čísla k dalšímu, přidáme dvě strany původního čtverce a jedničku. Například při přechodu od 4 na 2 k 5 na 2, ke 4 na 2 (16) přidáme 2 × 4 + 1. Každé čtvercové číslo tudíž můžeme vyjádřit jako součet lichých čísel: (n + 1) na 2 = 1 + 3 + 5 + … + 2n + 1, kde n je přirozené číslo.

Při hledání mystických vlastností čísel definovali pythagorejci dokonalé číslo jako číslo, které „se rovná [součtu] svých částí“. Jinak řečeno, dokonalé číslo se rovná součtu všech svých dělitelů včetně jedničky, ale bez samotného daného čísla. První dokonalé číslo je 6, protože 6 = 6 × 1 = 2 × 3. A k tomu 6 = 1 + 2 + 3. Dalším dokonalým číslem je 28, neboť 28 = 2 × 14 = 4 × 7 a současně 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14 . Číslo 496 je také dokonalé. Jak to zjistíme?
O několik století později slavný řecký matematik Eukleides dokázal, že pokud je součet libovolného počtu členů posloupnosti 1, 2, 2 na 2, 2 na 3, …, 2 na (n – 1) prvočíslo, pak je tento součet vynásobený 2 na (n – 1) dokonalé číslo. Například pro n = 3 máme 2 na 0 + 2 na 1 + 2 na 2 = 1 + 2 + 4 = 7, což je prvočíslo. Pak 7 vynásobeno 2 na (3 – 1) musí být dokonalé číslo. A je to tak, neboť 7 × 4 = 28. Pro n = 4 dostaneme 1 + 2 + 4 + 8 = 15, což není prvočíslo. Pro n = 5 však dostaneme 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, tj. prvočíslo. Pak se tedy 31 × 16 musí rovnat dalšímu dokonalému číslu, 496.
Staří Řekové určili i následující dokonalé číslo, 8 128, a povšimli si jisté pravidelnosti: dokonalá čísla vždy končí buď na 6, nebo na 8. Větší dokonalá čísla však přesahovala jejich výpočetní schopnosti. Již páté dokonalé číslo, 33 350 336, je obrovské. A to následující, 8 589 869 056, je řádu miliard. Deváté dokonalé číslo má třicet sedm cifer!
Jednou se Pythagora otázal jeden z jeho žáků: „Co je to přítel?“ A dostal odpověď: „Přítel je druhé já.“ Podle toho pak definoval také pojem přátelství u čísel. Dvě čísla podle něj jsou „spřátelená“, pokud každé z nich je součtem dělitelů toho druhého (s vyloučením čísel samotných). Spřátelená jsou například čísla 284 a 220. Proč? 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, kde sčítanci jsou všichni dělitelé čísla 220 (kromě čísla 220 samotného), zatímco 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142, kde sčítanci jsou všichni dělitelé čísla 284 (kromě čísla 284).

Tento text je úryvkem z knihy:
Amir Aczel
Divoká mysl – Ze života velkých matematiků
Dokořán a Argo 2024
O knize na stránkách vydavatele

obalka-knihy

Mohyly a pohřební krajina pod Řípem

Když naši předkové začali žít zemědělským usedlým způsobem života, s rostoucí populací se čím dál …

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close