Sciencemag.cz
Doporučujeme
Historik Lukianos vypráví, že Pythagoras tuto vlastnost přirozených čísel propojil s pythagorejskou úctou k číslům. Jednoho dne řekl členovi své sekty, ať počítá. Muž začal: 1, 2, 3, … Když došel ke 4, Pythagoras ho zarazil a řekl mu: „Vidíš? To, co považuješ za 4, je 10, dokonalý trojúhelník a naše přísaha.“ Pythagorejci skutečně považovali 10 za velmi zvláštní číslo.
Pythagoras a jeho stoupenci se dívali na číslo 1 jako na původce všech dalších čísel a ztělesnění rozumu. Dva, první sudé číslo, bylo podle nich ženské a představovalo názor. Tři bylo první „skutečně mužské“ číslo, obraz harmonie, protože spojovalo jak jednotu (1), tak rozmanitost (2). Číslo čtyři představovalo spravedlnost či odplatu, neboť bylo spojováno s „vyrovnáním účtů“. Číslo pět – protože to je spojení prvního skutečně mužského čísla (3) a prvního ženského čísla (2) – bylo obrazem manželství. Číslo šest představovalo stvoření (a je prvním „dokonalým číslem“, jak brzy uvidíme) a sedm byl počet „putujících hvězd“, tehdy známých planet. (Vedle Slunce a Měsíce znali pythagorejci jen pět dalších planet – Mars, Merkur, Jupiter, Venuši a Saturn –, podle nichž byly v latině pojmenovány dny v týdnu. Dodnes je to zjevné například na některých jejich anglických názvech – Sunday, Monday a Saturday odpovídají Slunci, Měsíci a Saturnu. Na zbývajících dnech, od úterý do pátku, je spojitost s názvy planet zjevná například ve francouzštině: Mardi, Mercredi, Jeudi a Vendredi.)
Číslo 10 bylo považováno za nejposvátnější ze všech, odtud Pythagorovo tvrzení ve výše zmíněném příběhu. Dokonce mělo zvláštní jméno, tetraktys, z řeckého slova pro čtyřku (tettares), odkazující na počet bodů ve straně trojúhelníkové podoby čísla. Deset představovalo celek vesmíru a zároveň součet čísel, která představují všechny možné rozměry v prostoru, ve kterém žijeme. (Číslo 1 představuje bod nulového rozměru; 2 představuje jednorozměrnou přímku, která vzniká spojením dvou bodů; 3 představuje dvojrozměrnou rovinu, protože tři body, které neleží na téže přímce, určují trojúhelník; 4 body, které neleží v téže rovině, tvoří trojrozměrný tvar, a představují tak trojrozměrný prostor. A 1 + 2 + 3 + 4 = 10.) Pythagoras a jeho stoupenci prohlásili číslo 10 svou „nejvyšší přísahou“ a také „principem zdraví“. Deset máme samozřejmě také prstů na rukou a na nohou, z čehož se vyvinula celá naše desítková číselná soustava, která nakonec vytlačila šedesátkovou soustavu Babyloňanů a Asyřanů. Podobně jsou ve francouzštině, která pro číslo 80 používá slovo quatre-vingt (čtyři dvacítky), stále zjevné stopy po dvacítkové soustavě (která se nejspíš vyvinula na základě toho, že dvacet máme prstů na rukou a nohou dohromady).
Pythagora zajímala také čtvercová čísla – další množina „geometrických“ čísel vedle čísel trojúhelníkových. Tak jako trojúhelníková čísla tvoří trojúhelníky, mohou být čtvercová čísla poskládána do čtverců. První čtvercové číslo je 1 (pakliže předpokládáme, že tvoří spíš čtverec než kruh; vždyť 1 na 2 = 1). Dalším čtvercovým číslem je 4, pak 9, pak 16 a tak dále.
Chceme-li postoupit od jednoho čtvercového čísla k dalšímu, přidáme dvě strany původního čtverce a jedničku. Například při přechodu od 4 na 2 k 5 na 2, ke 4 na 2 (16) přidáme 2 × 4 + 1. Každé čtvercové číslo tudíž můžeme vyjádřit jako součet lichých čísel: (n + 1) na 2 = 1 + 3 + 5 + … + 2n + 1, kde n je přirozené číslo.
Při hledání mystických vlastností čísel definovali pythagorejci dokonalé číslo jako číslo, které „se rovná [součtu] svých částí“. Jinak řečeno, dokonalé číslo se rovná součtu všech svých dělitelů včetně jedničky, ale bez samotného daného čísla. První dokonalé číslo je 6, protože 6 = 6 × 1 = 2 × 3. A k tomu 6 = 1 + 2 + 3. Dalším dokonalým číslem je 28, neboť 28 = 2 × 14 = 4 × 7 a současně 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14 . Číslo 496 je také dokonalé. Jak to zjistíme?
O několik století později slavný řecký matematik Eukleides dokázal, že pokud je součet libovolného počtu členů posloupnosti 1, 2, 2 na 2, 2 na 3, …, 2 na (n – 1) prvočíslo, pak je tento součet vynásobený 2 na (n – 1) dokonalé číslo. Například pro n = 3 máme 2 na 0 + 2 na 1 + 2 na 2 = 1 + 2 + 4 = 7, což je prvočíslo. Pak 7 vynásobeno 2 na (3 – 1) musí být dokonalé číslo. A je to tak, neboť 7 × 4 = 28. Pro n = 4 dostaneme 1 + 2 + 4 + 8 = 15, což není prvočíslo. Pro n = 5 však dostaneme 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, tj. prvočíslo. Pak se tedy 31 × 16 musí rovnat dalšímu dokonalému číslu, 496.
Staří Řekové určili i následující dokonalé číslo, 8 128, a povšimli si jisté pravidelnosti: dokonalá čísla vždy končí buď na 6, nebo na 8. Větší dokonalá čísla však přesahovala jejich výpočetní schopnosti. Již páté dokonalé číslo, 33 350 336, je obrovské. A to následující, 8 589 869 056, je řádu miliard. Deváté dokonalé číslo má třicet sedm cifer!
Jednou se Pythagora otázal jeden z jeho žáků: „Co je to přítel?“ A dostal odpověď: „Přítel je druhé já.“ Podle toho pak definoval také pojem přátelství u čísel. Dvě čísla podle něj jsou „spřátelená“, pokud každé z nich je součtem dělitelů toho druhého (s vyloučením čísel samotných). Spřátelená jsou například čísla 284 a 220. Proč? 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, kde sčítanci jsou všichni dělitelé čísla 220 (kromě čísla 220 samotného), zatímco 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142, kde sčítanci jsou všichni dělitelé čísla 284 (kromě čísla 284).
Tento text je úryvkem z knihy:
Amir Aczel
Divoká mysl – Ze života velkých matematiků
Dokořán a Argo 2024
O knize na stránkách vydavatele
