Sciencemag.cz
Doporučujeme
Známý vtip pojednává o profesoru matematiky, který někdy prohlásil, že čtyřrozměrný prostor si představit umí, ale s pětirozměrným má už trochu problémy. Kupodivu to vůbec nemusí být daleko od pravdy.
Můžeme říct, že 4D si představit nejde, protože žijeme ve 3D, ale toto tvrzení neobstojí. Různé věci ve 4D si totiž představujeme různě (ne)snadno. Např. taková 4D krychle – teserakt je prostě výsledek složení (ztotožnění stěn) 8 krychlí. Představit si to jde na základě analogie složení krychle z 6 čtverečků, ještě návodně na papíře nakreslených do kříže. V představit si ve 4D kouli je ovšem (subjektivně – u někoho to může být jinak) těžší, z kruhu totiž kouli nedostaneme vystřižením, ale rotací. A u 5D jsme asi bez šancí.
Pojďme dále. Můžeme říct, že „představit si něco“ prostě znamená umět to používat, pracovat s tím. Zde nám analytická geometrie dává netušené možnosti – cokoliv si můžeme představit jako nějaký „stavový prostor“, výsledek řešení soustavy (ne)rovnic. Potíž je však v onom „cokoliv“; jak nám vyšlo výše, různé objekty ve více než 3 dimenzích si představujeme různě snadno. Představa se nerovná fotografický otisk, ale přece jen by měla umožňovat s objektem manipulovat nějak přímo v hlavě, nejen počítat rovnice.
Dejme slovo odborníkovi:
„V matematickém kontextu hlavní rozdíl mezi schopností a neschopností si něco představit je, že když si to představit dovedeme, můžeme odpovídat na otázky přímo, aniž bychom se museli zamyslet a počítat. To samozřejmě platí jen do určité míry, ale to neznamená, že to není opravdový rozdíl. Když máme říct, kolik má třídimenzionální krychle hran, můžeme „nahlédnout“, že má čtyři hrany kolem horní podstavy, čtyři kolem dolní a čtyři svislé, celkem dvanáct.
„Nahlédnout“ něco ve vyšší dimenzi je těžší a někdy nezbývá, než argumentovat podrobněji, jak jsem ilustroval v příkladu s hranami pětidimenzionální krychle. Ale někdy to jde. Například čtyřdimenzionální krychli si můžeme představovat jako dvě protilehlé třídimenzionální krychle, jejichž odpovídající vrcholy jsou spojené hranami (ve čtvrté dimenzi), podobně jako třídimenzionální krychle je udělaná ze dvou protilehlých čtverců a hran spojujících jejich odpovídající vrcholy. I když nemáme úplně zřetelnou představu čtyřdimenzionálního prostoru, můžeme přesto „nahlédnout“, že každá ze dvou třídimenzionálních krychlí má 12 hran a 8 hran je spojuje dohromady, jedna za každý vrchol, což je dohromady 12 + 12 + 8 = 32. Potom můžeme i „nahlédnout“, že pětidimenzionální krychle sestává ze dvou čtyřdimenzionálních, zase s příslušnými spojnicemi odpovídajících vrcholů. To je celkem 32 + 32 + 16 = 80 hran (32 za každou čtyřdimenzionální krychli a 16 hran mezi), přesně jako jsme spočítali předtím. Takže máme jakousi rudimentární schopnost si čtyřdimenzionální a pětidimenzionální objekty představovat. Je to přirozeně daleko obtížnější než pro objekty třídimenzionální — například nedokážu přímo odpovědět na otázky o tom, co se stane, když se čtyřdimenzionální krychlí otočí, kdežto pro třídimenzionální to umím — ale také je to o poznání snazší, než si představovat věci 53dimenzionální. A tak by to být nemohlo, kdybychom vůbec žádnou vícedimenzimenzionální představivost neměli. Někteří matematici se specializují na čtyřdimenzionální geometrii a jejich schopnost čtyřdimenzionálního vidění je vysoce rozvinutá.“ (Tim Gowers: Matematika – průvodce pro každého, Dokořán 2006)
Souhlasíte?
