Sciencemag.cz
Doporučujeme
V Eulerově době pojali lidé podezření, že jsou ještě „horší“ čísla než iracionální, totiž čísla, která nejenže jsou iracionální, ale nejsou ani kořenem žádné algebraické rovnice. Taková čísla byla nazvána transcendentní.
Nebylo vůbec samozřejmé, že taková čísla skutečně existují. Například rovnice
sin x = 1/2 (2)
je transcendentní, protože není algebraická. Jestliže rozvineme sinus do mocninné řady, máme
−1/2 + x − x3/3! + x5/5! − … = 0, (3)
a ta není jako (1), protože nesplňuje podmínku, že n musí být konečné. Jedním z jejich řešení je x = π/6. Ale kdo tvrdí, že transcendentní rovnice musí mít transcendentní řešení? Rovnice sin x = 0 je též transcendentní, ale jedno z jejích řešení x = 0 je očividně algebraické číslo.
Existence transcendentních čísel byla dokázána až v roce 1840, kdy Joseph Liouville (1809–1882) ukázal, že je možno definovat čísla (v jeho důkazu jako limity řetězových zlomků), která nemohou být kořeny žádné algebraické rovnice. Ale jestliže je existence transcendentních čísel prokázána, proč by měla být zajímavá? Odpověď je, že mají řadu zajímavých vlastností a konkrétněji že transcendence π poskytuje okamžitou odpověď na prastarý problém, zda je možné provést kvadraturu kruhu.
Jedna ze zajímavých vlastností transcendentních čísel je ta, že je jich „více“ než algebraických čísel. „Více“ je v uvozovkách, protože algebraických čísel je nekonečně mnoho a právě tak i transcendentních čísel. Existují ovšem způsoby, jak srovnávat různá nekonečna. Jestliže počítáme počet předmětů, například 17 stromů v zahradě, ve skutečnosti srovnáváme jejich počet s řadou přirozených čísel 1, 2, 3, … 17. Při počítání stromů přiřazujeme jedna k jedné mezi každým stromem a každým přirozeným číslem. Proces zastavíme, když toto vzájemně jednoznačné (bijektivní) přiřazení již není možné, v tomto případě proto, že číslům větším než 17 nelze již přiřadit další strom. Víme pak, že počet stromů v zahradě je stejný jako řada prvních sedmnácti přirozených čísel. Ale v tomto procesu počítání je možné pokračovat až do nekonečna. Každou řadu, jejíž členy je možno přiřadit k řadě přirozených čísel vzájemně jednoznačně, je možné takto spočítat, i když by počítání pokračovalo do nekonečna. Taková řada se nazývá spočetná, i když může být nekonečná. Řada sudých čísel je například zcela zřejmě spočetná, takže je „stejně velká“ jako řada všech přirozených čísel, včetně lichých. Dalo by se předpokládat, že bude jen „poloviční“, ale to je nepřípustné zobecnění toho, co jsme zvyklí používat pro konečné řady. Zakladatel teorie množin Georg Cantor (1845–1918) ukázal, že množina racionálních, a dokonce i algebraických čísel je spočetná, ale řada transcendentních (a tudíž i reálných) čísel je nespočetná. Tato nekonečna různých řádů mohou být popsána novými čísly, nazývanými kardinální čísla, a tato transfinitní čísla mají svou vlastní aritmetiku, ukazující, že půvaby matematiky jsou vskutku bez konce: přesahují i nekonečno.
Ale důvod, proč transcendence π vstupuje do našeho příběhu, je zcela jiný. Již jsme viděli, proč Řekové trvali na provedení kvadratury kruhu pouze konečným počtem konstrukčních kroků pomocí pravítka a kružítka (viz str. 60–63). Poté, co Descartes zavedl novou geometrii, objevila se možnost ověřit proveditelnost takové konstrukce analyticky. Kvadraturu kruhu lze provést, jestliže můžeme kružnici napřímit (rektifikovat). Je-li průměr jednotkový, musíme zkonstruovat čáru o délce π. Pouze s použitím pravítka a kružítka můžeme rýsovat jen rovné čáry a kružnice, tedy křivky, jejichž rovnice a polynomy nejsou vyššího než druhého řádu. Body získané postupnými konstrukcemi jsou proto vždy průsečíky (nebo tečné body) křivek nejvýše druhého řádu. Máme kružnici (předpokládejme s jednotkovým průměrem), jejíž rovnice je
4x2 + 4y2 = 1 (4)
a konečným výsledkem konstrukce by měla být vzdálenost rovná π. Souřadnice konečného bodu této vzdálenosti dostaneme řetězcem konstrukcí, z nichž každá odpovídá následujícímu. Jsou dány body (z předchozí konstrukce), jejichž souřadnice jsou známá čísla. Tyto souřadnice (nebo jejich jednoduché funkce) se stanou koeficienty rovnice, kterou máme řešit v dalším stupni, protože průsečík znamená řešení dvou současně platných rovnic. Začínáme s (4) a jako další krok konstrukce, charakterizované křivkou nejvýše druhého řádu, najdeme průsečík těchto dvou křivek tím, že řešíme nejvýše kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou buď racionální, nebo iracionální, a mohou obsahovat pouze odmocniny. Tyto kořeny nebo jejich jednoduché funkce se stanou koeficienty rovnice, která má být řešena v dalším kroku konstrukce. Příští rovnice je tedy kvadratická s koeficienty, jež jsou buď racionální, nebo druhé odmocniny. Abychom ji převedli na rovnici s racionálními koeficienty, stačí (a ani není vždy nutné) rovnici umocnit na druhou, takže vznikne rovnice nejvýše osmého stupně. Skládá-li se konstrukce z s kroků, pak konečná rovnice, kterou musíme vyřešit, abychom dostali délku π, musí být rovnice řádu nejvýše 8s, kde s má být konečné.
Jestliže rektifikace (nebo kvadratura) je možná v konečném počtu kvadratických kroků, pak jedním z kořenů této algebraické rovnice je π (nebo √π). Ale jestliže π není kořenem žádné algebraické rovnice, pak je rektifikace (nebo kvadratura) podle řeckých pravidel nemožná.
Otázka, zda je možné provést kvadraturu kruhu pomocí eukleidovské geometrie, může tedy být zodpovězena takto: jestliže π je transcendentní číslo, pak nikoliv. Teorie rovnic se proto musela zabývat problémem, který tížil již Anaxagora v athénském vězení v 5. století př. n. l. Když Lindemann v roce 1882 konečně dokázal, že π je transcendentní číslo, skoncoval s tímto problémem poslední ranou.
Tento text je úryvkem z knihy
Petr Beckmann: Historie čísla Pí, Academia, nové vydání 2021
O knize na stránkách vydavatele
Stále mám dojem, že to Cantor poněkud zjednodušil. Jakékoli transcednentní číslo se dá zapsat jako podíl dvou nekonečněmístných celých čísel. To, že něco má nekonečně míst, přece nijak nekoliduje s tím, že jde o prosté celé číslo. Že ho nikdo nedokáže za život vyčíslit? No však ani to transcendentní ne. Každopádně v tabulce všech reálných čísel o délce dvě desetinná místa mezi 0 a 1 se nedá zkonstruovat žádné nové cantorovo diagonální číslo, které by tam už nebylo. A tak v jakékoli další délce, až do nekonečna.