Železné piliny v magnetickém poli, licence obrázku public domain
Železné piliny v magnetickém poli, licence obrázku public domain

Elektromagnetická dualita

Symetrie receptu je vzácnou vlastností, ze které se můžeme něco dozvědět o pokrmu samotném.

Během příprav na konferenci jsem se chtěl dozvědět více o elektromagnetické dualitě. Elektrickou a magnetickou sílu známe všichni. Díky elektrické síle se objekty s elektrickým nábojem přitahují nebo odpuzují podle toho, zda má jejich náboj stejné nebo opačné znaménko. Například elektron má záporný elektrický náboj a proton má náboj kladný (tedy opačný). Díky přitažlivé síle mezi nimi obíhá elektron kolem atomového jádra. Elektrické síly vytvářejí takzvané elektrické pole. Na vlastní oči ho můžeme vidět v podobě blesku, který je způsoben pohybem teplého vlhkého vzduchu skrze elektrické pole.

Magnetická síla má odlišný původ. Je to síla, kterou vytvářejí magnety nebo pohybující se elektricky nabité částice. Magnet má dva póly: severní a jižní. Umístíme-li dva magnety opačnými póly proti sobě, budou se přitahovat, zatímco stejné póly se budou odpuzovat. Naše zeměkoule je jeden obrovský magnet, a když pracujeme s kompasem, využíváme její magnetickou sílu. Jakýkoli magnet vytváří magnetické pole, jak je zřetelně vidět na snímku na obrázku 43.
V 60. letech 19. století vypracoval britský fyzik James Clerk Maxwell znamenitou matematickou teorii elektrických a magnetických polí. Popsal ji pomocí soustavy diferenciálních rovnic, které dodnes nesou jeho jméno. Člověk by očekával, že tyto rovnice budou dlouhé a složité, jenže ony jsou ve skutečnosti docela prosté: jsou jen čtyři a vypadají překvapivě symetricky. Ukazuje se, že pracujeme-li s touto teorií ve vakuu (tedy v prostředí bez jakékoli hmoty) a zaměníme-li elektrické pole za magnetické, soustava rovnic se nezmění.5 Jinými slovy, záměna těchto polí je symetrií rovnic. Říká se tomu elektromagnetická dualita. Vztah mezi elektrickým a magnetickým polem je tedy symetrický: jedno pole ovlivňuje druhé přesně stejným způsobem.

Maxwellovy elegantní rovnice popisují klasický elektromagnetismus, což znamená, že tato teorie funguje dobře při velkých vzdálenostech a nízkých energiích. Při malých vzdálenostech a vysokých energiích však chování obou polí popisuje kvantová teorie elektromagnetického pole. V kvantové teorii jsou nositeli těchto polí elementární částice, fotony, které jsou v interakci s jinými částicemi. Tato teorie má název kvantová teorie pole.
Abychom se vyhnuli zmatení pojmů, je třeba zdůraznit, že pojem „kvantová teorie pole“ má dva různé významy: v širším smyslu označuje obecný matematický jazyk, pomocí něhož se popisuje chování a interakce elementárních částic; také však může označovat konkrétní model takového chování – například kvantový elektromagnetismus je v tomto smyslu kvantovou teorií pole. Většinou budeme tento výraz používat ve druhém významu.
Ve kterékoli takové teorii (či modelu) jsou některé částice (například elektrony a kvarky) stavebními kameny hmoty a jiné (jako například fotony) nositeli sil. Každá částice má různé charakteristiky: některé jsou dobře známé, například hmotnost a elektrický náboj, jiné jsou méně známé, jako například spin. Kvantová teorie určitého pole pak představuje recept, jak tyto charakteristiky propojit.
Slovo „recept“ nás mimochodem přivádí k užitečné analogii: představte si kvantovou teorii pole jako recept na nějaké dobré jídlo. Jednotlivé ingredience pak představují analogie částic a způsob, jakým je smícháme dohromady, se podobá interakci mezi nimi.
Vezměme si například recept na ruský boršč, což je v mé domovině oblíbené jídlo. Nejlepší boršč vaří moje maminka (jak jinak). Výsledek vidíme na obrázku 44 (snímek pořídil můj táta):

Mámin recept musím samozřejmě zachovat v tajnosti. Ale na internetu jsem našel tento:

8 hrnků vývaru (hovězího či zeleninového)
1/2 kilogramu hovězího s kostí
1 velká cibule
4 velké červené řepy
4 mrkve
1 velká brambora
2 hrnky krouhaného zelí
3/4 hrnku čerstvého kopru
3 polévkové lžíce vinného octa
1 hrnek kyselé smetany
sůl
pepř

Představte si, že je to „částicový obsah“ naší kvantové teorie pole. Co bude v tomto kontextu znamenat dualita? Půjde jednoduše o záměnu některých ingrediencí („částic“) za jiné tak, aby celkový obsah zůstal stejný.

Dualita by mohla fungovat například takto:

řepa → mrkev
mrkev → řepa
cibule → brambora
brambora → cibule
sůl → pepř
pepř → sůl

Všechny ostatní ingredience zůstanou v této dualitě zachovány, tedy:

vývar → vývar
hovězí s kostí → hovězí s kostí
a tak dále.

Protože množství zaměněných ingrediencí jsou totožná, výsledkem bude stejný recept! To je princip duality.
Pokud na druhé straně zaměníme řepu za brambory, výsledkem bude odlišný recept: recept se čtyřmi bramborami a jedinou řepou. Nezkoušel jsem ho, ale řekl bych, že by chutnal hůře.
Z tohoto příkladu by mělo být zřejmé, že symetrie receptu je vzácnou vlastností, ze které se můžeme něco dozvědět o pokrmu samotném. Skutečnost, že můžeme zaměnit řepu za mrkev, aniž ovlivníme výsledek, znamená, že náš boršč je z hlediska těchto dvou ingrediencí dobře vyvážený.
A nyní se vraťme ke kvantovému elektromagnetismu. Tvrzení, že v této teorii existuje dualita, znamená, že existuje způsob, jak zaměňovat jednotlivé částice tak, abychom skončili u stejné teorie. U elektromagnetické duality si přejeme, aby se „vše elektrické“ změnilo ve „vše magnetické“, a naopak. Pokud například elektron (analogie řepy v naší polévce) nese elektrický náboj, pak by mělo být možné zaměnit ho částicí nesoucí náboj magnetický (analogií mrkve).
Existence takové částice je však v rozporu s naší každodenní zkušeností: magnet má přece vždy dva póly a ty od sebe nelze oddělit. Rozlomíme-li magnet na dva kusy, každý z nich bude mít opět dva póly.
Fyzici nicméně vytvářejí teorie předpokládající existenci magneticky nabité elementární částice s názvem magnetický monopól; jako první s ní přišel v roce 1931 jeden ze zakladatelů kvantové fyziky Paul Dirac. Ten ukázal, že pokud umožníme, aby se s magnetickým polem v místě monopólu stalo něco zvláštního (matematik by to nazval „singularitou“ magnetického pole), pak tento monopól ponese magnetický náboj.
Magnetické monopóly bohužel nebyly experimentálně ověřeny, takže zatím nevíme, zda v přírodě opravdu existují. Pokud ne, pak v přírodě na kvantové úrovni neexistuje ani exaktní elektromagnetická dualita.
Zatím zůstává ve hvězdách, zda tomu tak opravdu je. Bez ohledu na to se však můžeme pokusit vypracovat kvantovou teorii pole, která bude mít dostatečně blízko k přírodě a zároveň bude vykazovat elektromagnetickou dualitu. Vrátíme-li se ke kulinářské analogii, můžeme se pokusit „uvařit“ nové teorie disponující dualitami. Můžeme změnit ingredience a jejich množství v již známých receptech; některých se zbavit, některé jiné přidat a tak dále. Tento typ „experimentální kuchyně“ může vést k rozmanitým výsledkům. Nemusíme mít nutně chuť tyto imaginární pokrmy „sníst“. Ať už však budou jedlé nebo ne, možná stojí za to zkoumat jejich vlastnosti v kuchyni našich představ – mohou nám totiž poskytnout určité poznatky o pokrmech, které jedlé jsou (tedy o modelech, jež by mohly popisovat náš vesmír).
Toto „modelování“ metodou pokus-omyl je cesta, díky které v kvantové fyzice (stejně jako kdysi v kulinářském umění) už desítky let dosahujeme pokroku. A symetrie představuje důležitý princip, který se při tvorbě těchto modelů používá. Čím více symetrický je určitý model, tím snazší je ho analyzovat.
Na tomto místě je důležité vzít v úvahu fakt, že existují dva druhy elementárních částic: fermiony a bosony. Prvně jmenované částice jsou základními stavebními kameny hmoty (elektrony, kvarky atd.), zatímco do druhé skupiny patří částice nesoucí síly (například fotony). Pomíjivá Higgsova částice, kterou nedávno objevili ve Velkém hadronovém urychlovači pod Ženevou, je rovněž bosonem.
Mezi oběma typy částic existuje zásadní rozdíl: dva fermiony nemohou být současně ve stejném „stavu“, kdežto u jakéhokoli počtu bosonů to možné je. Protože je chování obou typů částic tak radikálně odlišné, fyzici dlouho předpokládali, že jakákoli symetrie kvantové teorie pole musí zachovávat rozdíl mezi fermionovými a bosonovými sektory – že příroda jejich promíchání vylučuje. V polovině 70. let však několik fyziků přišlo se zdánlivě bláznivou hypotézou: totiž že je možný nový typ symetrie, který zamění bosony za fermiony. Začalo se jí říkat supersymetrie.
Připomeňme si slavný výrok Nielse Bohra, jednoho z tvůrců kvantové mechaniky, adresovaný Wolfgangu Paulimu: „Všichni se shodujeme, že vaše teorie je šílená. Rozděluje nás však otázka, zda je natolik šílená, aby měla naději být správnou.“
Stále nevíme, zda se v přírodě supersymetrie vyskytuje, avšak samotná tato představa si získala popularitu. Důvodem je skutečnost, že řada problémů zatěžujících konvenční kvantové teorie pole po zavedení supersymetrie mizí. Supersymetrické teorie jsou obecně elegantnější a snáze se analyzují.
Kvantový elektromagnetismus supersymetrický není, ale má supersymetrická rozšíření. Stačí přihodit více částic, bosonů i fermionů a výsledná teorie bude vykazovat supersymetrii.
Fyzici zkoumali zejména ta rozšíření elektromagnetismu, která vykazují největší možnou míru supersymetrie. Ukázali, že v této rozšířené teorii se elektromagnetická dualita skutečně uplatňuje.
Abychom si to shrnuli: nevíme, zda v reálném světě existuje nějaká forma kvantové elektromagnetické duality. Víme však, že v idealizovaném supersymetrickém rozšíření této teorie se elektromagnetická dualita projevuje.
Tato dualita má ještě jeden důležitý aspekt, který jsme zatím nezmínili. Kvantová teorie elektromagnetického pole má jako parametr elektrický náboj elektronu. Ten je záporný, takže ho zapisujeme jako –e, kde e = 1,602.10–19 coulombů. Je tedy velmi malý. Maximální supersymetrické rozšíření elektromagnetismu má podobný parametr, který budeme rovněž označovat jako e. Realizujeme-li elektromagnetickou dualitu a zaměníme vše elektrické za vše magnetické, získáme teorii, v níž se náboj elektronu nebude rovnat e, nýbrž jeho inverzi 1/e.
Je-li e malé, pak 1/e musí být velké. Začneme-li tedy teorií s malým nábojem elektronu (což je případ našeho světa), pak v duální teorii bude náboj elektronu vysoký.
To je nesmírně překvapivé. Vrátíme-li se k analogii s polévkou, zkusme si představit, že e je teplota polévky. Dualita v takovém případě znamená, že prohozením mrkve a řepy náhle proměníme studený boršč v horký.
Tato inverze e je ve skutečnosti klíčovým aspektem elektromagnetické duality a má dalekosáhlé důsledky. Kvantová teorie pole je postavená tak, že ji dobře chápeme pouze pro malé hodnoty parametrů jako e. Dokonce ani nevíme, zda při vysokých hodnotách dává tato teorie smysl. Elektromagnetická dualita nám sděluje nejen to, že smysl dává, ale i to, že je ekvivalentní s teorií s nízkými hodnotami parametru. To znamená, že máme šanci ji popsat pro všechny hodnoty parametru. Proto je tento typ duality považován za svatý grál kvantové fyziky.

Naše další otázka zní, zda elektromagnetická dualita existuje i pro jiné kvantové teorie pole, než je elektromagnetismus a jeho supersymetrické rozšíření.

Tento text je úryvkem z knihy:
Edward Frenkel: Láska a matematika – srdce skryté skutečnosti
Argo a Dokořán 2020
O knize na stránkách vydavatele
obalka-knihy

Stromy, bolest a spánek

Zimní spánek je u stromů složitější než u zvířat, byť lze živočichy stejně jako stromy …

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close