Sciencemag.cz
Doporučujeme
U svátečního stolu se často porcuje. Přitom obvykle pro více než 2 lidi, takže nevystačíme s jednoduchým nápadem, kdy jeden člověk dělí a druhý si vybírá, jakou ze dvou částí bude chtít. Konzum u stolu snad v roli potravy pro duši vhodně doplní následující úloha, ve skutečnosti docela obtížná…
Problém podrobně rozebírá britský matematik a autor řady populárněvědných knih o matematice Ian Stewart. Základní požadavek na správné („spravedlivé“) dělení je takový, že za každou újmu (= dostat menší než poměrnou část) si člověk může sám – buď tím, že špatně dělil, nebo špatně vybral.
Mimochodem, úloha je řešitelná i při rozdílných preferencích. V nejjednodušším případě předpokládáme, že A rozdělí dort na dva kusy ze svého pohledu stejné (stejně hodnotné), B si pak ze svého pohledu vybere tu lepší. Ale A ze svého pohledu není ošizen (ani netuší, že B si může připadat jako vítěz).
Co tedy v situaci, kdy je třeba dort rozdělit na 3 části? Rozhodně nemůže A dort rozkrojit na tři kusy. Kdyby byl 1 větší než třetina a 2 a 3 menší, ten větší by si vybral hráč B. Na hráče C by pak zbyla, ať tak či tak, část menší než třetina, přestože ten se při dělení ani výběru žádné chyby nedopustil.
Nejjednodušší a současně logické vypadá následující řešení: 2 lidé (možná dokonce obecně x-1 i pro ještě více hráčů) budou krájet, poslední si pak vybere svůj díl a tak dále v pořadí odzadu. Řekněme, že tedy A ukrojí z dortu třetinu, B pak zbylou část rozdělí na poloviny (třetiny původního dortu), pak zvolí C svou část, pak B a A si vezme poslední.
Takhle to ale nejde. Co když B rozkrojí zbylé 2/3 na polovinu špatně? C si pak vezme větší část, B si vezme původní třetinu a A má smůlu, i když sám žádnou chybu neudělal.
Dobře, zkusíme to jinak. Nejprve bude volit C, potom ale hned A a B až nakonec. Jenže co když A na začátku ukrojí třeba menší třetinu? Pak zbudou po dalších dělení 2 větší kusy, jeden si vezme C, druhý si vezme A a na B zbude nejmenší kousek – i když krájel správně. Takže ani takhle to nejde.
Už pro pouhé 3 hráče je správné řešení ve skutečnosti docela složité, však se na něj přišlo až v polovině 20. století (tedy řešení je víc, ale ta další jsou ještě složitější).
Stewart doslova píše (v českém překladu jsou Jirka, Mirek, Vašek):
KROK 1: Jirka rozdělí dort na dva díly X a W, přičemž X má podle něj hodnotu jedné třetiny a W dvou třetin.
KROK 2: Jirka podá X Mirkovi a požádá jej, aby díl posoudil. Pokud se Mirek domnívá, že X má hodnotu vyšší než 1/3, má nyní možnost oříznout jej tak, aby tuto hodnotu získal. Má-li Mirek jiný názor, nechť laskavě nechá dort na pokoji. Nově vzniklý díl nazveme X*; ten může být buď stejný jako X, nebo menší.
KROK 3: Mirek podá X* Vaškovi, který si jej buď vezme, nebo nikoli.
KROK 4: (a) Jestliže Vašek přijme X*, Jirka a Mirek uhňácají ze zbytků, tedy z W a z odřezků, nový (nechutný) celek a zahrají si o něj podle pravidla „krájím–vybírej“.
(b) Pokud Vašek odmítne X* a Mirek ve druhém kroku byl ořezal X, pak si X* vezme Mirek a Jirka s Vaškem si zahrají o zbytek.
(c) Pokud Vašek nechce X* a Mirek ve druhém kroku nechal X Xem, pak si X vezme Jirka a o zbytek si zahrají Mirek s Vaškem.
Zdroj: Ian Stewart: Jak rozkrájet dort a další matematické záhady
Argo a Dokořán 2009
Poznámka PH: Trochu podobnou úlohou, která by však už spadala do psychologie (respektive do kategorie optických klamů/kognitivních zkreslení apod.), by bylo se snažit navrhnout dělení tak, aby si protistrana vybrala zdánlivě větší, ve skutečnosti však méně výhodnou část. Asi jako když Prometheus dával Diovi na výběr, jaká část masa má připadnout bohům coby oběť.
