Sciencemag.cz
Doporučujeme
Hravý problém z oblasti teorie čísel, součet tří krychlí. Mohou být celá kladná čísla vyjádřena jako součet tří trojmocí?
Nejde to pro čísla, která při dělení 9 dávají zbytek 4 nebo 5, je ale taková omezující podmínka dostatečná? Pro všechna ostatní čísla to jde? Odpověď prozatím neznáme. Navíc je třeba dodat, že v rovnici k = x³ + y³ + z³ připouštíme jako x, y a z sice pouze celá čísla, ale i záporná.
Tím, že si povolíme záporná čísla, se situace podstatně mění. Čísla x, y a z mohou být v absolutní hodnotě větší než k, takže protipříklad nelze jednoduše dokázat výčtem, můžeme pouze říci, že jsme součet (dosud?) nenašli.
Díky rostoucí výpočetní síle počítačů se dosud podařilo vyjádřit jako součet tří trojmocí většinu čísel do 1000, samozřejmě kromě těch s nepřípustným „devítkovým dělením“. Hádankou do stovky zůstávala jen čísla 33 a 42. U ostatních máme k dispozici pozitivní důkaz, že se ze 3 trojmocí složit dají.
Andrew Booker, matematik z University of Bristol, nyní přidává další drobný příspěvek k řešení: 33 = (8,866,128,975,287,528)³ + (–8,778,405,442,862,239)³ + (–2,736,111,468,807,040)³.
Booker uvádí, že postupoval hrubou silou, ne ovšem tak, že by hledal trojmoce pro číslo 33, ale naopak si nějak tipl nadějné kombinace trojmocí a doufal, že by mohl takto dojít k nějakému dosud nerozhodnutému číslu pod 1 000. Zvolil prostě novou vyhledávací strategii a nakonec se náhodou trefil pro nejmenší dosud sporné číslo. Některá čísla mohou být jako součet trojmocí vyjádřitelná více, ba nekonečně mnoha způsoby. I když tedy někdo najde novou kombinaci trojmocí, nemusí přitom dokázat nic nového o žádném čísle k.
Úplně teoreticky je možné třeba i to, že problém je nerozhodnutelný, tj. nezávislý na ostatních axiomech. To si však prakticky nikdo nemyslí, všichni předpokládají, že v problému součtu tří trojmocí dojdeme k nějakému obecnému řešení/důkazu. Do té doby si leckdo může hrát a zkoušet. Aktuálně tedy zbývá číslo 42, dobře známé minimálně i všem čtenářům Stopařova průvodce po Galaxii.
Zdroj: Phys.org
Wikipedia
Cracking the Problem With 33: people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf
Poznámka: Dále existuje i věta o 4 trojmocích, zde už se uvažuje o platnosti napříč všemi přirozenými čísly.
