(c) Graphicsstock

Kvarteriony a oktoniony

Kvaterniony jsou příkladem toho, čemu dnes říkáme „algebra s dělením“.

V úvodu jsme ukázali, jak se početní systém opakovaně rozšiřoval zaváděním nových typů čísel. Posledním krokem v tomto směru bylo zavedení komplexních čísel, která umožňují existenci odmocniny z −1. Komplexní čísla mají významné aplikace ve fyzice, existuje ale jedno výrazné omezení: metoda nejlépe funguje pro dvě dimenze roviny, kdežto prostor je třírozměrný. V 19. století se matematici snažili vyvinout třírozměrný početní systém, který by byl zobecněním komplexních čísel. Vypadalo to jako dobrý nápad, ale ať se snažili sebevíc, nikdy z toho nic užitečného nevzešlo.
Vynikající irský matematik William Rowan Hamilton obzvláště usiloval o vznik použitelného trojrozměrného početního systému a v roce 1843 dostal nápad, jak překonat dvě přirozené překážky takového systému:
• Ve třech rozměrech to fungovat nebude.
• Musíme obětovat jedno ze standardních pravidel aritmetiky, a to komutativní zákon násobení, který stanovuje, že ab =ba.

V okamžiku prozření kráčel Hamilton po břehu říčního kanálu na zasedání Irské královské společnosti. Přemýšlel ze všech stran o problémech třírozměrného početního systému a náhle si uvědomil, že tři rozměry nebudou nikdy fungovat, kdežto čtyři rozměry by mohly, ovšem za nějakou cenu.
Bylo to skutečné prozření. Ohromilo ho, jak se věci rázem zjednoduší, zastavil se a do kamenného zdiva mostu vyryl pravidlo pro svoje nová čísla:
i2 = j2 = k2 = ijk = −1.
Svá nová čísla pojmenoval kvaterniony, protože čísla měla čtyři části. Tři byly i, j, k a čtvrtou bylo reálné číslo 1. Typický kvaternion vypadal následovně:
3 − 2i + 5j + 4k,
takže měl čtyři části tvořené reálnými čísly jako koeficienty (zde 3, −2, 5, 4). Sčítání kvaternionů je přímočaré, dokonce i násobení je snadné, když použijete vzorce, které Hamilton vyryl na most. Potřebujete jenom pár výsledků, které z těchto vzorců plynou, a sice:
i2 = j2 = k2 = −1
ij = k jk = i ki = j
ji = −k kj = −i ik = −j
spolu s pravidlem, že násobení 1 nechává všechno beze změny.
Všimněte si, že kupř. ij je různé od ji; komutativní zákon přestal platit. I když se ztráta komutativnosti může zdát nepříjemná, nezpůsobuje vážnější problémy. Prostě si musíte dávat pozor, v jakém pořadí píšete symboly, když provádíte násobení. V té době se už rozvíjelo několik nových odvětví matematiky, v nichž komutativní zákon také neplatil. Takže tato vlastnost nebyla nic ojedinělého a přehnaného. Hamiltonovi připadaly kvaterniony báječné, ale většina matematiků je zpočátku považovala jen za jakousi kuriozitu. Ještě ke všemu se ukázalo, že kvaterniony nejsou příliš užitečné při řešení fyzikálních úloh v třírozměrném prostoru – a vlastně ani ve čtyřrozměrném. Nebyly úplným propadákem, ale postrádaly jednoduchost a univerzálnost komplexních čísel z dvojrozměrného prostoru. Hamilton sice zaznamenal jistý úspěch díky tomu, že i, j, k tvořily třírozměrný prostor, ale v tom kvaterniony rychle překonala vektorová algebra, která se stala standardní součástí aplikované matematiky.
Navzdory tomu všemu kvaterniony zůstávají důležitou součástí čisté matematiky a mají aplikaci v počítačové grafice, protože poskytují jednoduchou metodu, jak otáčet tělesa v prostoru. Mají také zajímavou spojitost s větou o čtyřech čtvercích.
Hamilton nepovažoval kvaterniony za „čísla“, protože v té době byly objevovány různé číselné algebraické systémy. Kvaterniony jsou příkladem toho, čemu dnes říkáme „algebra s dělením“ – algebraický systém, v němž můžeme sčítat, odčítat, násobit a dělit (kromě nulou), takže platí téměř všechny standardní aritmetické zákony. Množina kvaternionů se značí H (jako Hamilton, jelikož Q už bylo použito pro čísla racionální).
Dimenze prostoru reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů je 1, 2 a 4. Dalším prvkem v této posloupnosti by zajisté měla být 8. Existuje i osmirozměrná algebra s dělením? Odpověď zní: Ano! Oktoniony, známé též jako Cayleyho čísla, představují takovýto systém. Značí se O. Vyžadují opuštění dalšího aritmetického zákona, distributivnosti násobení: a(bc) = (ab)c. Nicméně tady už posloupnost končí: žádná 16rozměrná algebra s dělením neexistuje.
Poměrně nedávno se kvaterniony a oktoniony vynořily ze zapomnění, když se díky hluboké souvislosti s kvantovou mechanikou a teorií fundamentálních částic ukázala jejich aplikace ve fyzice. Klíčem k jejich úspěchům v této oblasti je symetrie fyzikálních zákonů a neobvyklé vlastnosti symetrie těchto dvou systémů. Kupříkladu pravidla pro počítání s kvaterniony se nezmění, když změníme pořadí i, j, k na j, k, i. Podrobnější analýza ukáže, že můžete dokonce tyto tři prvky nahradit vhodnými kombinacemi i, j a k. Výsledné symetrie jsou velice úzce spojené s rotacemi v třírozměrném prostoru a počítačové hry často k tomuto účelu využívají ve svém softwaru právě kvaterniony. Oktoniony mají podobnou interpretaci, když jde o rotace v sedmirozměrném prostoru.

Tento text je úryvkem z knihy
Ian Stewart: Neuvěřitelná čísla profesora Stewarta
Argo a Dokořán 2019
O knize na stránkách vydavatele

obalka_knihy

Jak matematicky vytvořit „vědomí já“

Neuron je obvykle spojen s desítkami až tisíci jiných neuronů. Tranzistory v počítači naproti tomu …

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close