Sciencemag.cz
Doporučujeme
I českými médii proběhla zpráva o nové studii popisující známý paradox: jak je to s opicí (opicemi), co píše náhodně na psacím stroji. V nekonečném čase (nebo bude-li nekonečno opic) jistě nakonec napíše kompletní Shakespearovo dílo. Tak zní známý teorém, nová studie (možná snad spíše „studie“) to ovšem „vyvrátila“ – opicím v počtech vyskytujících se na Zemi by to trvalo déle, než trvá vesmír. I než můžeme rozumně odhadovat jeho trvání do budoucnosti, třeba 10 na 100 let.
Připouštím, že mi to celé přišlo docela banální. Nicméně když už jsem takto četl příslušnou tiskovou zprávu, všiml jsem si, že se odkazuje na Zenonův paradox, Petrohradský paradox a Rossův–Littlewoodův paradox (vše to má souviset s tím, že máme problémy pracovat s pojmem nekonečna v souvislosti s pravděpodobnostmi). Zenonův paradox (paradoxy, se šípem a s želvou) zná asi každý. Petrohradský paradox je také celkem omletý. Háže se mincí, když padne hlava, dostanete korunu a hra končí. Když padne orel, hraje se dál. Padne-li hlava ve 2. hodu, dostanete 2 Kč a hra končí. Padne-li hlava ve třetím hodu, člověk získá 4 Kč. A tak dále. A teď: kolik by měl člověk zaplatit za účast ve hře? „Hodnota hry“ je nekonečná, alespoň v určitém ohledu.
Wikipedia.cz (kde je i dobře vysvětleno, proč „nekonečná hodnota hry“ nedává smysl)
Nicméně i o Petrohradském paradoxu již nejspíš všichni, co čtou popularizační matematickou literaturu, slyšeli. Pak byl ovšem také zmíněn Rossův–Littlewoodův paradox, který byl pro mě novinkou, a snad může být proto trochu zábavné tento další „paradox s nekonečny“ představit.
Zde je situace nastavena takto. Je 11 hodin, vezmete vázu a hodíte do ní 10 kuliček a 1 odeberete. V půl dvanácté uděláte totéž. Ve ¾ na dvanáct zase. Interval vždy zkrátíte na polovinu. Kolik kuliček bude ve váze v poledne? Tedy těch úkonů „vhodit/vytáhnout“ bude provedeno nekonečně.
Nejjednodušší odpověď zní, že výsledkem přece musí být nekonečno. Však v každém kroku celkem přidáte 9 kuliček. Jenomže. Představte si, že kuličky budou očíslovány a budeme je odebírat podle rostoucích čísel. Jaké kuličky pak budou ve váze? No, při nekonečně krocích odebereme kuličku s každým číslem. Takže paradoxně kuliček ve váze zůstane 0…? Ovšem když kuličky budeme odebírat tak, že vždycky s přidáním vytáhneme nejvyšší číslo, bude jich ve váze nekonečně. Dokonce můžeme pravidla odebírání (podle očíslování) nastavit tak, aby ve váze zůstal libovolný počet kuliček. Podle některých názorů spočívá paradox prostě v tom, že úloha není dostatečně specifikovaná – tedy to, jak se kuličky budou číslovat, podle jakého pravidla vytahovat atd. (Ovšem selský rozum pochopitelně praví: počet kuliček, co někde zůstane, nezávisí na tom, kterou konkrétně vytáhnete.)
A nakonec – úloha jako celek je vadná. Nemůžeme provést nekonečně operací, respektive budeme-li je provádět, konec („poledne“) nikdy nenastane. Proto nemá smysl se vůbec takto ptát. (Za toto řešení bych se přimlouval, nicméně s nekonečnými posloupnostmi/řadami se pracuje, takže kdoví.)
Podrobnosti anglická Wiki
