Sciencemag.cz
Related Articles
Společnost OpenAI se pochlubila, že jeden z jejích interních modelů umělé inteligence našel protipříklad ke slavné domněnce, kterou v roce 1946 vyslovil legendární maďarský matematik Paul Erdős.
Erdős je samozřejmě populární postavou, viz už koncept Erdősova čísla. I mezi nematematiky je znám svými výstřednostmi nebo zálibou v amfetaminech.
Problém jednotkové vzdálenosti v rovině (Erdős Unit Distance Problem, Erdősův problém č. 90) je otázka z kombinatorické geometrie, kterou Paul Erdős formuloval v roce 1946. Ptá se, jaký je maximální možný počet dvojic bodů v množině o n bodech v rovině, které jsou od sebe vzdáleny přesně o 1 (resp. danou vzdálenost). Viz obrázek. Nebo jinak:
Kolikrát (x) se může jedna konkrétní vzdálenost (např. 1 cm) maximálně opakovat mezi n body?
Na čtvercové mřížce o velikosti k je počet bodů n = k na 2. Vzdálenost mezi sousedními body je 1, ale existuje zde i mnoho dalších vzdáleností (např. odmocnina ze 2 na diagonále atd.).
Úloha zní, jaké uspořádání umožňuje maximalizovat nejvyšší vzdálenost (nemusí jít o čtvercovou síť). O jakou vzdálenost vlastně jde („kterých délek je nejvíc“ – ve čtvercové síti nemusí jít o spojnici sousedních bodů). Eventuálně jak rychle toto číslo (největší počet konkrétních délek) roste v závislosti na n.
Poznámka: Informace o úspěchu umělé inteligence médii proběhla, ale podstata problému bývala mnohde podána dost matoucím způsobem. Toto snad alespoň trochu vysvětluje jeho podstatu.
Další výklad bude sledovat text, jehož autorkou je Melissa Lee z australské Monash University (An AI solution to an 80‑year‑old problem has shocked mathematicians, The Conversation).
Kanadský matematik Daniel Litt popsal úspěch OpenAI jako „první výsledek vytvořený autonomně umělou inteligencí, který mi připadá zajímavý sám o sobě“.
Tento průlom, dosažený pomocí univerzálního modelu AI namísto modelu specializovaného na matematiku, také zdůrazňuje, jak umělá inteligence mění samotný matematický výzkum. Několik dní po zveřejnění článku OpenAI dospěl americký matematik Will Sawin stejným způsobem uvažování k vylepšenému výsledku. A mimochodem, v reakci na to tým z Google DeepMind použil jeden ze svých vlastních modelů k vyřešení devíti méně významných otevřených problémů, které po sobě zanechal Erdős.
Tyto výsledky současně ukazují, v jakém druhu matematiky jsou současné modely umělé inteligence dobré, a kde jsou naopak jejich schopnosti stále nejisté.
Co se historie samotného problému č. 90 týče, čtvercová mřížka se od počátku zdála jako slibný kandidát na nejlepší uspořádání. Rozestupy mřížky přirozeně vytvářejí mnoho párů v pravidelných vzdálenostech od sebe. Tato intuice ovlivnila uvažování o tomto problému. S rostoucím počtem bodů uspořádání do čtvercové mřížky i nadále vypadala jako velmi účinná.
Po celá desetiletí se proto všeobecně věřilo, že tyto vysoce pravidelné struktury jsou tím nejlepším možným řešením. Sám Erdős předpokládal, že žádná konstrukce nemůže tato intuitivní uspořádání podstatně vylepšit, a to ani v případě extrémně velkého počtu bodů. (Nový nejlepší výsledek, jehož autorem je Sawin, údajně začíná přinášet zlepšení až při počtu kolem 10 na 2000000 bodů.)
Nedávný průlom umělé inteligence od OpenAI však dokázal, že Erdősova intuice (respektive domněnka) byla mylná. Nový výsledek využívá nástroje z oblasti algebraické teorie čísel k důkazu, že existují vzory bodů zahrnující mnohem více párů s jednotkovou vzdáleností než čtvercová mřížka, a to pro nekonečně mnoho hodnot n.
K výsledku se rovnou vyjádřilo několik předních matematiků. Nositel Fieldsovy medaile Timothy Gowers napsal, že kdyby lidský výzkumník předložil příslušný článek prestižnímu časopisu Annals of Mathematics, doporučil by jeho zveřejnění bez jakéhokoli váhání. Dodal také, že žádný předchozí důkaz vygenerovaný umělou inteligencí se ani zdaleka nepřiblížil této úrovni sofistikovanosti.
Tento průlom zároveň představuje první významný otevřený matematický problém, který byl vyřešen pomocí umělé inteligence s minimálním lidským zásahem nad rámec počátečního zadání. V doprovodném článku je uvedeno zadání, které bylo modelu předloženo, a také popis „myšlenkového řetězce“, kterým model prošel.
Samotný detail důkazu podle OpenAI viz zde: https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/
Co z toho aktuálně vyplývá ohledně schopností umělé inteligence pomáhat při matematickém výzkumu nebo jej samostatně provádět?
Většina významných průlomů v matematice vychází z kombinace tří věcí: odborných znalostí získaných v průběhu let, trvalého úsilí o kreativní uplatnění těchto znalostí při zkoumání nápadů (z nichž se mnohé ukážou jako slepé uličky) a příležitostných koncepčních skoků, které náhle přeskupí způsob chápání problému (způsob přemýšlení o něm).
V prvních dvou oblastech modely umělé inteligence již vynikají: jak poznamenal Gowers, velké jazykové modely, jako je ChatGPT, mají encyklopedické znalosti matematiky. Navíc mohou sledovat obrovské množství spekulativních směrů zkoumání, i těch, které pravděpodobně nikam nevedou, bez časových omezení obvyklých pro lidi.
Právě to se zdá být klíčem k úspěchu v tomto případě. Zpětně to vypadá, že lidský odborník, který by dostal několik málo nápověd, by pravděpodobně dokázal dojít ke stejnému důkazu.
Složitější otázkou je, do jaké míry může AI přispět ke skutečným koncepčním skokům. Tyto náhlé momenty prozření, kdy se problém díky momentu prozření přeformuluje zcela novým způsobem, jsou často považovány za tu nejlidštější část matematiky. Tyto skoky je těžké formalizovat a ještě těžší předvídat. Zůstává nejasné, zda/nakolik je AI modely dokážou napodobit, a to i s ohledem na současné pokroky.
Jasné ale je, že modely AI již nyní zásadně mění způsob, jakým se objevuje (poznámka: v případě důkazů vět spíš „objevuje“ než „vynalézá“) nová matematika, uzavírá Melissa Lee.
Poznámka: Od zmíněného Timothy Gowers vyšla v češtině kniha Matematika – průvodce pro každého, (Dokořán 2006).
Viz také: Erdős, matematický kouzelník z Budapešti
A aké je teda to nové riešenie? Ja som pri článkoch vždy videl len štvorcovú sieť… Aj v tomto článku je štvorcová sieť. Prečo teda nie je publikované aspoň jedno to nové, lepšie rozloženie? Jedná sa o body v rovine, aký je v tom problém? Len množstvo bombastických slov o novom riešení
„Nedávný průlom umělé inteligence od OpenAI však dokázal, že Erdősova intuice (respektive domněnka) byla mylná. Nový výsledek využívá nástroje z oblasti algebraické teorie čísel k důkazu, že existují vzory bodů zahrnující mnohem více párů s jednotkovou vzdáleností než čtvercová mřížka, a to pro nekonečně mnoho hodnot n.“
Len príklad tých úžasných vzorov akosi zabudli uviesť…
Připojuji se k dotazu, jak vypadá to řešení. Čtu už třetí článek na toto téma, ale nikde jsem neviděl ani náznak toho, jak geometricky toto řešení zkonstruovat.
Mimochodem, všude se píše, že čtvercová síť je blízko optimálnímu řešení, ale i laik s papírem a tužkou za chvilku zjistí, že hexagonální síť (plástev, grafen) má zhruba 1,5 x větší počet dvojic než čtvercová (až na faktor úměrný odmocnině s N, který se s rostoucím počtem bodů stává zanedbatelným). Zajímalo by mě, pro jaká N je to řešení od AI lepší, než hexagonální uspořádání.
z videa na youtube jsem pochopil ze to je nekolik ctvrcovych siti
prelozenych prez sebe s nejakoym posunem a tak dale.
https://theconversation.com/an-ai-solution-to-an-80-year-old-problem-has-shocked-mathematicians-283686