Sciencemag.cz
Doporučujeme
Co když se neshodnou ani odborníci? Je problém v našich hlavách, v jazyce nebo matematice?
Skřínkový paradox je docela známý. Člověk má volit ze tří skřínek, v jedné z nich je kýžená odměna, další dvě jsou prázdné. Vyberete skřínku A. Nyní manipulátor, který zná řešení, otevře jednu ze dvou zbylých skřínek (B) – vidíte, že je prázdná. Pak můžete trvat na své původní volbě, nebo ukázat na skřínku C. S pravděpodobností 2/3 se odměna skrývá ve skřínce C, tj. správné řešení je volbu změnit.
Už přijetí skřínkového paradoxu je trochu problém, i když existují pomůcky. Tak třeba, manipulátor si, bez ohledu na to, zda odměna byla v původní skřínce, může vždy vybrat ze zbylých dvou jednu prázdnou. Zbylé dvě dohromady mají stále pravděpodobnost 2/3, ta původní 1/3, to se otevřením prázdné skřínky nezmění. Nebo si představme problém tak, že skřínek je 1 000, na začátku si jednu vyberete, ze zbytku pak manipulátor otevře a identifikuje jako prázdných 998. Pak už na původní volbě nebude chtít trvat asi nikdo…
Ať tak či tak, problém mate, protože i nesprávné řešení je „logické“ (v 1 skřínce cena není, v obou zbylých je pravděpodobnost tedy 1/2 a klidně lze setrvat na původní volbě). Nicméně na správném řešení je mezi lidmi tímto se zabývajícími shoda, vše lze konec konců i otestovat na simulacích a skutečně to tak vychází. Tímto způsobem se nakonec nechal přesvědčit i slavný matematik Pal Erdos, který jinak trval na tom, že ke změně volby skřínek není důvod.
Skřínky ovšem nejsou to nejhorší. Na následující problém jsem narazil v knize Maxe Tegmarka Náš matematický vesmír (subjektivně: celkově jde o těžko stravitelnou obhajobu matematického platonismu, ale to s následujícím problémem nijak nesouvisí).
Šípková Růženka byla uspána a dozví se následující:
V neděli ji uspí a hodí se mincí (poctivou).
Padne-li panna, v pondělí Růženku probudí.
Padle-li orel, v úterý ji probudí. Pak ji znovu uspí, vymažou jí informaci, že byla v úterý probuzena, a probudí ji zase v středu.
Šípková Růženka se probouzí. Šípková Růženka samozřejmě neví, co je za den, jinak má všechny výše dostupné informace. A dostává následující otázku: S jakou pravděpodobností padla v neděli při vrhu mince panna?
Tegmark uvádí, že na řešení tohoto problému nepanuje vůbec shoda, odborníci se dělí na půlkaře a třenitáře. Zdůvodnění pro oba postoje je jasné – proč by poctivá mince měla padat s pravděpodobností jinou než 1/2? Z pohledu Růženky to naopak lze brát tak, že se v jednom případě se probouzí s dvojnásobnou pravděpodobností (úterý + středa vs. pondělí), takže pak je pravděpodobnost nědělního hodu panny zpětně 1/3.
Tegmark se prohlašuje za třetináře.
Jaká je správná odpověď, lze-li to tak vůbec říci?
Je úloha převoditelná na skřínkový paradox nebo dokonce totožná? Pokud ano, kde je problém (je-li na skřínkovém paradoxu shoda, co je tady jinak)?
Je možné i paradox Šípkové Růženky řešit empiricky, tj. počítačovou simulací?
Správně je 1/2, jelikož úterý a středa mají prevděpodobnost pokaždé 1/4, tedy dohromady opět 1/2.
sám bych se spíš přimlouval za 1/3, protože v případě jednoho scénáře vás probudí 2krát, a pokud na to předtím zapomenete… ale samozřejmě je divné říct, že mince padla s pravděpodobností 1:2, to taky uznávám. tak asi proto na tom není shoda…
Správně je 1/2, protože v neděli mince měla jen dvě možnosti a otázka zněla, s jakou pravděpodobností padla mince v neděli. To co se dělo potom už na to co bylo v neděli nemá vliv.
jenomže vy se nacházíte v určité „větvi reality“, která může být speciální. asi jako pravděpodobnost 1/2 smrti při dopravní nehodě a pak vám položí otázku „s jakou pravděpodobností jste v neděli při dopravní nehodě zemřel/a“.
přesně tento případ to být samozřejmě nemusí, však na odpovědi není shoda asi mezi šipkorůženkology, jak se zdá.
Co když ji probudí jen když padne panna, a když orel, tak ji nechají spát navěky? Má zase po probuzení říkat, že neví, ale že to u mincí přece bývá jedna polovina? To by musela být pořádná blondýna.
Problém není v tom příběhu ani v otázce položené Růžence, ale až v tom, že se na ni pokouší odpovědět matematikové, kteří už zcela ztratili kontakt s realitou. Díky tomu nejsou schopni odlišit reálný fyzikální jev – hod mincí, u nějž je pravděpodobnost výsledku známá – od svých virtuálních realit, ve kterých se Růženka vyskytuje v superponovaném stavu probuzenosti v pondělí, v úterý i ve středu, zcela pomíjeje skutečnost, že v úterý i ve středu se probouzí ta samá Růženka v té samé realitě – jedné z pouze dvou možných a stejně pravděpodobných. (Mimochodem, aplikací tohoto „paradoxu“ v praxi by dotyční matematikové mohli žít z rulety či podobných hazardních her: Stačilo by si v každém kole vsadit na černou, ihned na to zapomenout a vsadit si ještě i na červenou.)
Není celý problém záměrně chybně postaven? Tedy, řešení netkví v logice, ale v psychologii? Třeba je zcela jedno, k jakému názoru dojdete – důležitější je, že k nějakému jste schopni dojít, rozhodnout se, a neskončíte zaseknuti v meziprostoru jako proslulý Buridanův osel…?
Myslim, ze oba tabory nutne musi mit jiny vyklad otazky a tedy odpovidaji na jinou otazku nez nazorove druha strana.
Zkusme to takto. Pokud by mela ruzenka odpovedet s jakou pravdepodobnosti padne v nedeli panna, pak jiste rekne 1/2 a vsichni se na tom shodnou. Pokud ma ale po probuzeni (tj. zpetne) rici s jakou pravdepodobnosti padla v nedeli panna, tak se zamysli a v prvni rade si uvedomi, ze se to uz stalo a zda a jaky to ma na ni dopad.
Pokud bychom situaci upravili tak, ze v pripade panny ji v pondeli probudi a v pripade orla ji neprobudi a bude spat naveky, pak by po probuzeni vzdy rekla, ze padla panna a ze je pondeli. Kazde opakovani takoveho pokusu by skoncilo 2 moznymi scenari, kde je zpetne zrejme co se stalo a predevsim pokud ruzenka odpovida na otazku, pak je zrejme, ze musela padnou panna a je podneli.
Ted to ruzenka nevi, protoze oba scenare dopanou v kazde situaci tak, ze je ruzenka probuzena a dostava otazku. Pokud bude ruzenka odpovidat pri kazde otazce zcela nahodne, pak bude mit pravdu pouze z 1/3 vsech pokusu pro pannu (probouzi se 1x za opakovani pokusu) a z 2/3 pro pannu (probouzi se 2x za opakovani pokusu). To ale je zpusobeno pouze tim, ze se ji z 50% opakovani pokusu ptaji 2x, zatimco pro druhy pripad jen 1x. To je ten duvod, proc ma odpovidat vzdy ze padl orel – bude mit pradu ve 2/3 vsech polozenych otazek.
Tato uloha vyzaduje lepsi specifikaci toho na co se vlastne ptame a ceho ma tazatel dosahnout. Ma maximalizovat pocet spravnych odpovedi na otazku nebo na opakovani pokusu? Pokud na otazku, pak by mel odpovidat orel. Pokud na opakovani pokusu, pak je jedno, kterou odpoved zvoli.
ano, domnivam se, ze toto je rozbor, ktery celkem vycerpava. cemuz pak ale nerozumim je, proc to tegmark povazuje za zahadu, take mi to „tretinove reseni“ prijde presvedcive. (respektive na urovni kosmologie: mame-li duvod verit v „tretinove“ reseni – ve smyslu definice nejake „vetve minulosti“ – , pak to, ze dalsi pokusy davaji odpoved 1/2, na tom nic nemeni)
Poznám to v trochu inej verzii – http://koroptew.blogspot.com/2010/05/ma-vzdy-smysl-mluvit-o-pravdepodobnosti.html
ale odpoved je, samozrejme, 1/3.
Ide o to, ze sa nepytame len to, s akou pravdepodobnostou padla panna ci orol, ale sa pytame toto (osebe 1/2) a zaroven to, aky je den (samo osebe tiez len 1/2). V dizajne pribehu su ale pre kombinaciu mince a dna celkom 3 moznosti (v mojej verzii pondelok+panna, pondelok+orol, utorok+orol). Cize panna ma sancu 1/3. Nevadi, ze sama minca ma len dve strany. V skutocnosti tu ziadny paradox nie je, iba „zavoj“.
Podobne by sme mohli stanovit, ze pravdepodobnosť, ze v dvoch hodoch padne zakazdym panna je 1/4 aj ked minca ma len dve strany (a v momente, ked uz padla v prvom hode, to bude 50%, kym ak v nom nepadla, tak 0%). Btw. preto nie je pre poistovne pravdepodobnost nejakej živelnej pohromy po tom, co sa rovnaka práve stala, o nic mensia nez pravdepodobnost tej prvej, a ked si to mnohi myslia 🙂
Proste, bayesianska pravdepodobnost je zavisla od kontextu resp. ten definuje pocet vetiev moznych svetov. Zalezi teda, kde v case – pred ktorym vetvenim v momente rozhodovania sa stojim. Tak to aspon chapem ja.