Pixabay Lisense

Balení konečného počtu koulí a klobásová katastrofa

Jak optimálně uspořádat v prostoru určitý počet koulí? Tento problém má za sebou dlouhou historii. Už Kepler vyslovil domněnku, že nejhustším uspořádáním pro nekonečný počet koulí je struktura FCC (face-centered cubic), podobná hexagonálnímu uspořádání pomerančů a jablek, které můžeme vidět v supermarketech.

Máme-li konečný počet koulí, všechno se ale komplikuje; balení konečného počtu koulí do kompaktního shluku překvapivě ne vždy přináší nejhustší hustotu. Matematici již před desítkami let vyslovili domněnku, že lineární, klobásovité (sausage) uspořádání poskytuje nejlepší balení, ne však pro všechny počty koulí.
Uspořádání ve tvaru klobásy je nejefektivnějším balením, ale pouze s maximálně 55 koulemi. Při překročení tohoto počtu se nejlepším uspořádáním stává uspořádání do shluku. Tento náhlý přechod je známý jako „klobásová katastrofa“.
V trojrozměrném prostoru tvoří balení do 55 koulí lineárně „klobásu“, která je hustší než jakékoli shlukové uspořádání. Ve čtyřech rozměrech se však, mimochodem, tento scénář dramaticky mění. Shluk začne být hustší než klobása přibližně u 300 000 koulí.

Vědci z University of Twente a Utrecht University nyní zkoumali tento fascinující matematický problém balení koulí kombinací experimentů a počítačových simulací. Hanumantha Rao Vutukuri z University of Twente a jeho kolegové byli zvědavi, zda lze tento v zásadě zajímavý problém pozorovat a vyřešit v laboratoři pomocí modelového systému. Tento systém zahrnuje sférické částice o velikosti mikronů (koloidy) a obří unilamelární vezikuly (GUV), které slouží jako pružné nádoby.
„Zvědavost nás vedla ke zkoumání problému balení konečného počtu koulí prostřednictvím experimentů v reálném 3D prostoru, konkrétně s využitím koloidů v GUV. Tím, že jsme měnili počet částic a objem vezikul, jsme mohli zkoumat různé uspořádání částic uvnitř těchto vezikul pomocí konfokálního mikroskopu,“ uvádějí autoři výzkumu v tiskové zprávě. „Identifikovali jsme stabilní uspořádání pro specifické kombinace objemu vezikul a počtu částic: 1D (klobása), 2D (s částicemi uspořádanými v jedné rovině) a 3D (shluk). Pozoruhodné je, že jsme pozorovali také bistabilitu; konfigurace střídaly uspořádání 1D a 2D nebo 2D a 3D. Naše experimenty však byly omezeny na pozorování maximálně devíti částic, protože balení většího počtu částic vedlo k prasknutí vezikul.“
Ještě hlouběji se pak došlo ke zkoumání problému pomocí simulací. Tyto simulace předpověděly, že balení kuliček v klobásové konfiguraci je nejefektivnější pro maximálně 55 kuliček. U 56 kuliček ve vezikule simulace vedla k závěru, že efektivnější je kompaktní trojrozměrný shluk. Pro 57 kuliček se optimální balení vrátilo zpět do klobásového uspořádání. A zatímco matematici dříve došli k závěru, že pro 58 a 64 koulí je nejefektivnější uspořádání ve tvaru klobásy, nová studie to popírá a ukazuje, že kompaktní shluky zde jsou efektivnější. Problém, jak se ukazuje, lze tedy uchopit pomocí čisté matematiky, experimentálně („fyzicky“) i pomocí simulace…

Susana Marín-Aguilar et al, A colloidal viewpoint on the sausage catastrophe and the finite sphere packing problem, Nature Communications (2023). DOI: 10.1038/s41467-023-43722-0
Zdroj: University of Twente / Phys.org, přeloženo / zkráceno

Viz také: Na MITu navrhli efektivní algoritmus pro optimalizaci balení

Okna budoucnosti mohou mít více než dva režimy

Výzkumníci demonstrovali materiál pro dynamická okna příští generace, která by lidem umožnila přepínat okna mezi …

5 comments

  1. Jak je definovan objem, v nemz tu hustotu meri? Je to objem nejmensiho kvadru ktery tu koule pojme? Nebo nejak jinak?

  2. nebo jestli ta vezikula (vnejsi obal) neni spis jako sitka na pomerance, nebo strevo na klobasy.
    ze by to mohl byt konvexni obal.

  3. tak v tom clanku v pdf k tomu experimentu maji obrazky a ty vezikuly funguji asi jako gumovy balonek do ktereho jsou naskladane kulicky.

  4. Rozumím tomu dobře, že ta vezikula je tedy minimální plocha obepínající ty koule?

  5. Nepřekládalo se to dřív jako „salámové“ uspořádání (což by oproti klobáse bylo asi vhodnější, kvůli přímému řazení koulí)? (Google nabízí třeba Neuvěřitelná čísla profesora Stewarta)

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close