(c) Graphicsstock

Hypotéza matematického vesmíru

Jednoho večera roku 1990 v Berkeley, když jsme s přítelem Billem Poirierem seděli a spekulovali nad nejhlubší podstatou reality, mě náhle napadlo, co by to vše mohlo znamenat: že naše realita není matematikou jen popsatelná, ale že to zkrátka je matematika, a to ve velmi specifickém slova smyslu, který dále popíšu.
A nikoli jen některé její aspekty, nýbrž veškerá realita včetně vás samotných. Tahle myšlenka zní dost bláznivě a vypadá za vlasy přitažená, takže poté, co jsem o ní Billovi řekl, jsem o ní mnoho let přemítal a promýšlel ji, než jsem na toto téma napsal svůj první článek.

Než se pohroužíme do detailů, načrtnu nejprve logický rámec, ve kterém o celé věci přemýšlím. Na začátku stojí dvě hypotézy: jedna, zdá se, neškodná a druhá, zdá se, radikální:

Hypotéza vnější reality (HVR): Existuje vnější fyzikální realita, která je na nás lidech zcela nezávislá.
Hypotéza matematického vesmíru (HMV): Naše vnější fyzikální realita je matematická struktura.

Později předložím argument, že při dostatečně široké definici pojmu matematická struktura plyne druhá hypotéza z té první.
Můj výchozí předpoklad, hypotéza vnější reality, není kontroverzní: tipuji, že většina fyziků tuto pradávnou myšlenku bere za svou, i když se o ní pořád debatuje. Metafyzičtí solipsisté ji zcela zavrhují a stoupenci kodaňské interpretace kvantové mechaniky ji mohou odmítat na základě toho, že podle nich neexistuje žádná realita bez pozorování. Fyzikální teorie existenci vnější reality obecně předpokládají, jejich cílem je pak popsat, jak funguje. Naše nejúspěšnější teorie, zejména obecná relativita a kvantová mechanika, popisují jenom části této reality: například gravitaci anebo chování subatomárních částic. Naproti tomu svatým grálem teoretické fyziky je teorie všeho – kompletní popis reality.

Snížení dovoleného množství pojmového balastu
Moje osobní pátrání po takové teorii začalo velmi radikálním názorem na to, jak by mohla vypadat: Předpokládáme-li, že fyzikální realita existuje nezávisle na nás lidech, pak její fyzikální popis může být kompletní jenom tehdy, když bude dobře definovaný i pro entity, jež lidmi nejsou – například pro mimozemšťany anebo superpočítače – které lidské pojmy nechápou. Jinak řečeno, popis musí být vyjádřen v podobě neobsahující žádný lidský terminologický balast, třeba koncept „částice“, „pozorování“ či jiné podobné slovo. Naproti tomu veškeré fyzikální teorie, které mě ve škole naučili, obsahují dvě složky: matematické rovnice a „balast“ – slova vysvětlující, jak jsou ony rovnice propojeny s tím, co sami pozorujeme a intuitivně chápeme. Když odvozujeme důsledky teorie, zavádíme pro ně nové pojmy a slova, jako třeba protony, atomy, molekuly, buňky a hvězdy, protože jsou užitečné. Je však důležité mít stále na paměti, že tyto pojmy jsme vytvořili my lidé; v principu lze vše spočítat i bez tohoto „balastu“. Hypotetický dokonalý superpočítač by mohl spočítat, jak se v čase vyvíjí stav našeho vesmíru, aniž by při tom interpretoval, co se v něm děje užitím lidských pojmů, ale jen přímým zjištěním, jak by se pohybovaly všechny částice anebo jak by se vyvíjela vlnová funkce.
Uvažte například trajektorii basketbalového míče. Chcete ji popsat své přítelkyni. Protože se míč skládá z elementárních částic (kvarků a leptonů), můžete v principu popsat jeho pohyb bez jakéhokoli odkazu na basketbalový míč takto:
Částice 1 se pohybuje po parabole.
Částice 2 se pohybuje po parabole.
. . .
Částice 138 314 159 265 358 979 323 846 264 se pohybuje po parabole.
Bylo by to však poněkud nepraktické, protože by vám to zabralo více času, než je stáří našeho vesmíru. Bylo by to rovněž nadbytečné, neboť všechny částice drží pohromadě a pohybují se jako jeden celek. Právě proto jsme my lidé zavedli slovo míč, jímž odkazujeme na zmíněný celek. To nám umožňuje šetřit čas, protože stačí prostě popsat jen pohyb této jedné entity.
Míče vymysleli lidé, ale hodně se podobají ostatním složeným objektům, které lidskými výtvory nejsou, například molekulám, kamenům a hvězdám. Vymyslet slova také pro ně je výhodné nejen kvůli úspoře času, ale i proto, že poskytují pojmy, zkratkové abstrakce, jež nám umožňují intuitivněji chápat svět. Tato slova jsou sice užitečná, ale jde jen o dodatečnou „volitelnou výbavu“. V této knize jsem například opakovaně používal slovo hvězda, ale v principu bychom toto slovo mohli všude nahradit jeho definicí obsahující základnější termíny, třeba gravitačně vázaný shluk zhruba 10 na 57 atomů, z nichž některé podléhají jaderné fúzi. Jinými slovy: příroda obsahuje mnoho různých typů entit, které si doslova říkají o to, aby byly pojmenovány. Proto také každá lidská populace na Zemi má ve svém jazyce slovo označující hvězdu, jež bylo zavedeno nezávisle a odráželo specifické kulturní a jazykové tradice. Domnívám se, že i většina mimozemských civilizací ve vzdálených extrasolárních systémech vymyslela své jméno či symbol pro hvězdu, a to i v případě, že spolu jejich jedinci nekomunikují prostřednictvím zvuků.
Dalším pozoruhodným faktem je, že často lze existenci entit, jež si zasluhují samostatné pojmenování, matematicky předpovědět z rovnic ovládajících jejich části. Tímto způsobem lze předpovědět celou hierarchii struktur podobných legu, od elementárních částic přes atomy k molekulám, jak jsme diskutovali v sedmé kapitole. My lidé těmto objektům na každé úrovni jen přidáme vhodná jména. Když například řešíme Schrödingerovu rovnici pro pět anebo méně kvarků, ukáže se, že existují pouze dva vcelku stabilní způsoby, jak je uspořádat: buď jako shluk dvou kvarků u a jednoho kvarku d, anebo shluk dvou kvarků d a jednoho kvarku u. My lidé jsme k tomu jen dodali vlastní označení oněch dvou shluků, totiž užitečná slova „protony“ a „neutrony“. Když pak na tyto shluky aplikujeme Schrödingerovu rovnici, ukáže se, že existuje jenom 257 stabilních způsobů, jak je poskládat dohromady. My lidé jsme k tomu jenom dodali vlastní označení oněch shluků protonů a neutronů, totiž užitečné slovo „atomová jádra“, a pro každý druh jsme vymysleli speciální název: vodík, helium a tak dále. Schrödingerova rovnice nám rovněž umožňuje spočítat všechny možné způsoby, jimiž lze atomy skládat dohromady do větších objektů, ale v tomto případě existuje taková spousta různých stabilních struktur, že není výhodné zavádět pro každou z nich speciální název. Místo toho jsme v běžné řeči pojmenovali jenom významné třídy takových objektů (například „molekuly“ anebo „krystaly“) a většinu obvyklých anebo zajímavých objektů v každé třídě (třeba „voda“, „grafit“, „diamant“).

Tyto složené objekty chápu jako emergentní v tom smyslu, že se vynořují coby řešení rovnic obsahujících fundamentálnější objekty. Emergence je delikátní proces a je snadné ji přehlédnout, protože z historického hlediska šel proces vědeckého bádání opačným směrem: my lidé jsme znali hvězdy dávno předtím, než jsme si uvědomili existenci atomů, atomy jsme poznali dřív, než jsme si uvědomili, že jsou složeny z elektronů, protonů a neutronů, a neutrony jsme znali předtím, než jsme objevili kvarky. U každého emergentního objektu je pro nás lidi důležité vytvořit příslušnou terminologii v podobě nových konceptů.

Svatým grálem fyziky by pak dle mnohých lidí bylo najít to, co se v žertu nazývá „teorie všeho“, anglicky „Theory of Everything“, ve zkratce ToE, z níž by se vše ostatní dalo odvodit. Nahradila by velký otazník stojící na samém vrcholku stromu teoretického poznání. Jak jsme již uvedli v sedmé kapitole, dobře víme, že nám cosi uniká, protože stále ještě nemáme konzistentní teorii sjednocující gravitaci s kvantovou mechanikou. ToE by byla kompletním popisem vnější reality, kterou předpokládá hypotéza vnější reality. Na začátku této části knihy jsem uvedl, že kompletní popis nesmí obsahovat žádný lidský „balast“. To znamená, že nesmí obsahovat vůbec žádné naše pojmy! Jinak řečeno: musí to být čistě matematická teorie, bez dodatečných vysvětlení či „postulátů“, jaké nacházíme v učebnicích kvantové mechaniky (matematikové jsou schopni – a často jsou na to velmi pyšní – studovat abstraktní matematické struktury bez jakéhokoli vnitřního významu či vztahu k fyzikálním pojmům). Nekonečně inteligentní matematik by dokázal odvodit celý strom teorií na obrázku 10.5 jen z výchozích rovnic. Odvodil by tedy vlastnosti fyzikální reality, vlastnosti jejích obyvatel, jejich vnímání světa a dokonce i slova, která si pro něj vymysleli. Čistě matematická teorie všeho by potenciálně mohla být tak jednoduchá, že by se její rovnice možná daly vytisknout na tričko.

To vše vyvolává otázku: Je vůbec možné najít popis vnější reality, jenž by se obešel bez našeho pojmového balastu? Pakliže ano, musel by popis objektů ve vnější realitě i vztahy mezi nimi být zcela abstraktní. Veškerá slova a symboly by v něm byly pouhými značkami bez jakéhokoli předem určeného významu. Jedinými vlastnostmi oněch entit by byly jenom ty obsažené v jejich vzájemných vztazích.

Matematické struktury
Abychom tuto otázku zodpověděli, musíme se blíže podívat na matematiku. Pro moderního logika je matematická struktura toto: množina abstraktních entit, plus relace mezi nimi. Jako příklad si vezměte celá čísla anebo geometrické objekty, třeba dvanáctistěn, který měli v oblibě pythagorejci. Takový přístup k matematice je v příkrém kontrastu s tím, jak se s ní většina z nás poprvé setkala – buď to byla sadistická forma školního mučení, nebo hromada triků pro manipulaci s čísly. Stejně jako fyzika se ale i matematika vyvinula a klade si dnes obecnější otázky.

Moderní matematika je formální studium struktur, které lze definovat čistě abstraktním způsobem, bez balastu lidských pojmů. Matematické symboly si můžete představit jako pouhá označení bez vnitřního významu. Je jedno, jestli napíšete „Dva plus dva jsou čtyři“, „2 + 2 = 4“ anebo „Dos más dos es igual a cuatro“. Notace použitá k označení příslušných entit a vztahů mezi nimi je irelevantní, jediné podstatné vlastnosti celých čísel jsou ty, které jsou obsaženy v jejich vzájemných relacích. Matematické struktury tedy nevymýšlíme, ale objevujeme, a vynalézáme jenom notaci, jimiž je zapisujeme. Je důležité nesměšovat jazyk matematiky (který vynalézáme) se strukturou matematiky (kterou objevujeme). Kdyby se mimozemská civilizace zajímala o trojrozměrné tvary s plochými identickými stranami, přišla by na pět objektů z obrázku 7.2, které my pozemšťané nazýváme platónská tělesa. Mohla by si pro ně svobodně vymyslet svá vlastní exotická jména, ale nemohla by vynalézt šesté pravidelné těleso, protože prostě neexistuje. V tomto smyslu jsou matematické struktury, tolik oblíbené v moderní fyzice, například 3+1-dimenzionální pseudoriemannovské variety anebo Hilbertovy prostory, spíše objevovány nežli vymýšleny.

Naši diskusi můžeme shrnout do dvou klíčových bodů:
1. Z hypotézy vnější reality plyne, že „teorie všeho“ (kompletní popis naší vnější fyzikální reality) nemůže obsahovat žádný lidský pojmový balast.
2. Co je popsáno zcela bez lidského pojmového balastu, je v rigorózním smyslu matematická struktura.

Když to dáme dohromady, plyne z toho hypotéza matematického vesmíru, tedy že vnější fyzikální realita popsaná ToE je matematickou strukturou. Klíčové je, že věříte-li ve vnější realitu nezávislou na nás lidech, pak musíte věřit i v to, že naše fyzikální realita je matematickou strukturou. Nic jiného totiž nemá popis oproštěný od lidského pojmového balastu. Jinak řečeno, všichni žijeme v gigantickém matematickém objektu, který je mnohem komplikovanější nežli dvanáctistěn a nejspíš daleko složitější než objekty s prapodivnými názvy jako Calabiho–Yauovy variety, tenzorové bandly a Hilbertovy prostory, jež se vyskytují v dnešních nejmodernějších fyzikálních teoriích. Vše v našem světě je čistě matematické – včetně vás samých.

Tento text je úryvkem z knihy
Max Tegmark: Matematický vesmír
Argo a Dokořán, nové vydání 2022
O knize na stránkách vydavatele

obalka_knihy

Protijedy hyoscyaminu, skopolaminu a atropinu: inhibitory cholinesterázy

Cholinergní deficity spojované se skopolaminem napodobují kognitivní poruchu u Alzheimerovy choroby, což přispívá k „cholinergní …

18 comments

  1. Citace z článku: „Moderní matematika je formální studium struktur, které lze definovat čistě abstraktním způsobem, bez balastu lidských pojmů.“ K tomu bych podotknul, bezrozpornost matematiky se nedá dokázat i když v ní silně věříme. Jenže není náhodou víra „balast lidských pojmů“? Einstein jednou řekl svému curyšskému studentu: „Hlavní věc je přece obsah, nikoli matematika.“ Dodal: „Matematikou se totiž dá dokázat všechno.“ A pokud někdo dokáže, že 2+2≠4, nebude to konec matematiky. Pouze si budeme muset dávat větší pozor, stejně jako u Newtonovské mechaniky, když v→c.

  2. Podle Newtona platí m=C, kde C je konstanta. Podle speciální relativity ale m=m₀/√(1-v²/c²). Matematika je bez fyziky slepá. Matematika by byla jak čirý křišťál v prázdném vesmíru, k ničemu. Také vidíme, že „jistota“ dedukce může být iluzorní. Euklides na základě sporu vydedukoval, že prvočísel je nekonečně mnoho. Ale každé číslo představuje informaci, čím vyšší číslo, tím více informace. Z informatické termodynamiky plyne vztah odvozený Francouzem Brillouinem ∆I≤∆E/(k.T.ln(2)) kde I-informace (bit), E-energie (J), k-Boltzmannova konstanta, T-teplota (K). Vidíme, že při změně informace ∆I se spotřebuje energie ∆E. Nekonečná řada prvočísel spotřebuje nekonečno energie. Jak psal matematik Petr Vopěnka, při počítání 1, 2, 3, 4… můžeme dojít k matematické „černé díře“. Z matematikou to není tak jednoduché, jak si myslí fanoušek Tegmark.

  3. Vtípek: Za jaké teploty dokázal Euklides, že prvočísel je nekonečně mnoho? Za nulové. (pozn. zrovna zamrzaly kaluže)

  4. Humoru není nikdy dost: Vědma Horácie předpověděla, že přesně příští středu v 14:32 dojde ke katastrofě, začne platit ħ=0, G=0 a c=∞. (pozn. nejhorší na tom je, že to není nemožné)

  5. maji bilkovinne retezce v nasich bunkach opravdu konformaci (prostorove usporadani) odpovidajici nejmensi energii (nejoptimalnejsi)?

    nebo by se matematicky mohl dopocitat ke globalnimu minimu a dostal by jinou konformaci bilkoviny, ale pak by mohl vypocitat uplne jinou zivotni formu.

  6. To a6b.
    První otázka je experimentální. Zjistit velikost vazbové energie. Potom můžeme teoreticky spočítat energii jiných vazeb. Ale jestli by ty fungovaly v praxi, to je opět experimentální problém. Kdyby fungovaly, mohli bychom získat úplně novou životní formu.

  7. To a6b.
    Počítalo by se to asi Schrödingerovkou, ale tak složitou, že si to ani neumím představit. Práce pro superpočítač.

  8. Ještě dodatek, spoléhat se v tomto případě na nějaké principy, při konstrukci proteinů, je vědecké zjednodušení. Principy se nedají dokázat. Musíme znát konkrétní strukturu bílkoviny a tu exaktně spočítat. Při konstrukci proteinů dochází k chybám, které jsou pak vyselektovány. Bohužel i ty bychom museli zahrnout do Schrödingerovy rovnice. IMHO v současné době neřešitelný problém.

  9. Ještě zpět k Tegmarkově knize. Nevím, jestli je to axiom, ale v matematice tvrdíme „nulou dělit nelze“. Přitom to limitně děláme a funguje to. Shrnul bych to matematickým humorem, „nulou skoro dělit nelze“ 🙂

  10. Poznámka k transfinitní indukci. Při práci s ordinálními čísly používá aritmetiku přirozených čísel. Přitom se tvrdí, že Gentzen dokázal bezespornost aritmetiky transfinitní indukcí. Není to důkaz kruhem? A je Gentzenova metoda bezesporná? Mě je to jedno, matematiku miluji!!

  11. Dodatek k předešlému. Jaký je obecný rozdíl mezi n+1 a ξ⊕1. Ale počítač postavený na aritmetice, jak vidno, funguje, tak je to „dobry“ 🙂

  12. Dal jsem si trochu „přemýšleníčka“, jak říkával Einstein. Jaký je obecný rozdíl mezi n+1 a ξ⊕1? I v ordinální operaci ξ⊕1 figuruje přirozené číslo 1. To je definováno Peanovým axiomem aritmetiky přirozených čísel. Vypadá to, že Gentzenův důkaz, je důkaz kruhem.

  13. Trochu jsem zalistoval v encyklopedii. Tak číslo 1 má dvě definice. Buď je to ordinální číslo a nebo přirozené. Když je ordinální, tak neplatí Peanův axiom, na kterém stojí aritmetika přirozených čísel. Nebo je to číslo přirozené a Gentzenův důkaz je důkaz kruhem. Chápete to? Asi je ordinální i přirozené zároveň. Guláš mám rád, ale raději mimo matematiku 🙂

  14. Tak každé přirozené číslo je také ordinální. Pro přirozené číslo 1 je ordinální číslo množina {1}. Stále ale platí, že i u Genzenova důkazu nelze potvrdit bezespornost. Můžeme jeho důkaz „dokázat“, ale i tento nový důkaz může obsahovat spor, etc. Matematika prostě visí ve vzduchu a je svobodná, volná.

  15. Ještě k výroku V1: „V rozporném systému se dá dokázat cokoli.“ Dá se tam tedy dokázat, že výrok V1 není pravdivý? Vypadá to, že výrok V1 je sám sporný. Hehehe 🙂

  16. Citace, raději neřeknu odkud s ohledem na duševní zdraví své i ostatních: „Ze sporných premis vyplývá jakýkoli závěr – je tomu tak na základě tautologie výrokové logiky (zákon Dunse Scota) (p ∧ non p)→q.“

  17. Pojďme si trochu zavýletovat do krásného reálného světa. Ke schizofrenii inklinující logik (Gödel byl schizofrenik) řekne: „Červená je červená.“ My relativně normální lidé, jako já, nebo redaktor pan Houser, víme, že není červená jako červená. Máme světle červenou, tmavě červenou, nebo třeba mně, hlavně na autech, se líbící oranžovo červenou. Výroková logika je možná krásná, rozporná disciplína ale já mám raději píseň od Kylie Minogue „It’s no Secret.“ 🙂

  18. Nulou samozřejmě dělit lze, ale nebudete spokojen s tím co vám vyjde. Na základě jednoho dělení vyjdou dva výsledky, mezi kterými je dvojnásobné nekonečno. Je jen na vás jak ten výsledek budete interpretovat. Protože pokud záleží na tom, jaký to nese význam, pak to něco znamenat může. Pokud jste však přesvědčení, že matematika nemá řešit význam, ale jen „to spočítat“, pak musíte poctivě přiznat, že matematika takový význam zatím nezná, což do budoucna nic nevyločuje.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close