Královská cesta ke geometrii a věta o pizze

Žádná královská cesta ke geometrii neexistuje.
Eukleidova odpověd’ králi Ptolemaiovi I. na otázku, zda existuje snazší způsob, jak se předmětu naučit.

Královská cesta ke geometrii ve skutečnosti existuje.
Je to kniha, kterou napsal Thomas Malton v roce 1774. Malton byl matematik samouk, který vlastnil čalounický obchod v Londýně. Vedle toho dával soukromé lekce ve svém domě na Poland Street, kde podle svých slov uměl udělat z každého džentlmena (který k tomu má trochu nadání) odborníka na geometrii za méně než polovinu času, který se tomu obvykle věnuje, a zároveň poučným a zábavným způsobem.
Ve své knize Malton poměrně otevřeně kritizuje Eukleidovy Základy, které popisuje jako značně zatížené zbytečnými důkazy. Mínil tím patrně, že se v nich příliš dokazují zřejmé věci, což podle něj slouží jen k tomu, aby to uvažování mladých lidí mátlo a uvádělo je do rozpaků.

A dodal, že předvádět jinému člověku zcela zřejmá tvrzení pro mne bylo vždycky obtížnější než dokazovat ta nejsložitější… K Maltonově knize se ještě v této kapitole vrátíme, ale nejprve se krátce podívejme na dva starší pokusy zpřístupnit geometrii širší veřejnosti.

Cesta k vědění?
První knihou o geometrii v angličtině byla Pathway to knowledge (Cesta k vědění) od Roberta Recordea, která vyšla v roce 1551. Recorde patrně nejvíc proslul jako vynálezce znaku rovnítka =, byl však také bezpochyby jedním z největších učitelů matematiky všech dob.
Jeden konkrétní postřeh v Recordeově knize je dost pozoruhodný:
… pro člověka, který se pouští do neznáma, není zpočátku snadné pochopit jak to, čemu se učí, tak důvod, proč tomu tak je…
V souladu s tím kniha obsahuje velké množství tvrzení, ale v podstatě nic, co by se podobalo důkazům nebo deduktivnímu odvozování. Tak například u Pythagorovy věty Recorde prostě nakreslil obrázek pro případ 3–4–5 (obrázek) a napsal
… podle počtu políček v těchto čtvercích je vidět…, že věta platí…


Recordeův „důkaz“ Pythagorovy věty

Obrázek, který se ještě dnes občas prezentuje jako „důkaz“, ovšem nic nedokazuje ani v případě 3–4–5, pokud neukážeme, že každý z těch 50 malých čtverečků má přesně stejnou velikost.
V každém případě Recorde zřejmě zastával názor, že pro úplného začátečníka je lepší, když se zaměří na samotná tvrzení bez důkazů.

„Věta o pizze“
Na závěr kapitoly se vrátíme ke Královské cestě ke geometrii od Johna Maltona.
Nejvýraznějším rysem, který tuto knihu odlišuje od několika podobných, je skutečnost, že obsahuje řadu zajímavých výsledků a tvrzení, které v Eukleidových Základech nejsou.
Patří k nim například takzvaná Varignonova věta a málo známé tvrzení, které Malton popisuje jako „neobyčejná vlastnost kružnice“.

Toto tvrzení platí pro každé dvě tětivy, které se protínají pod pravým úhlem (viz úvodní obrázek). A docela pozoruhodné je, že součet a2+b2+c2+d2 je tudíž konstantní a nezávisí na tom, kde se tětivy protínají. Ještě kurióznější je, že tento výsledek vedl po roce 1960 ve spojení s určitými jednoduchými výpočty k takzvané větě o pizze (obrázek).

Ta poskytuje netradiční způsob, jak pizzu rozdělit na stejně velké části, protože pro každý vnitřní bod P kružnice platí, že celkový obsah šedé plochy je stejně velký jako celkový obsah bílé plochy, jestliže čtyři řezy mezi sebou svírají úhly 45◦!

Tento text je úryvkem z knihy:
David Acheson: Kniha geometrických kouzel
Dokořán 2023
O knize na stránkách vydavatele
obalka-knihy

Co je to abstraktní katalyzátor

Právě jsem uvedla, že katalyzátor umí umožnit, nebo způsobit změny ve fyzických systémech. Popravdě řečeno, …

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close