(c) Graphicstock

Matematika, spin a triky s polévkovým talířem

…podíváme se na zajímavý trik, který si můžete vyzkoušet s polévkovým talířem nebo jiným podobným předmětem. Nejprve si položte talíř na rozevřenou dlaň, jako když číšník servíruje večeři. A teď si zkuste následující manévr: kruhovým pohybem paže protočíte ruku s talířem o celou jednu otáčku, přičemž talíř budete neustále udržovat ve vodorovné poloze.
Máte-li odvahu se do toho pustit, zatočte nejprve paži k tělu tak, aby vám talíř prošel pod podpažím. Pokračujte v kruhovém pohybu za zády a nad hlavou – talíř přitom musí být pořád ve vodorovné poloze. Vše se přirozeně vrátí do výchozí polohy a talíř nespadne, i když vám celou dobu jen volně ležel na dlani.
Videa ukazující trik s polévkovým talířem lze najít na internetu, například zde:

kde je předveden pod názvem „balinéský trik s šálkem“ (místo talíře), podle tance z ostrova Bali s šálkem plným vody. Na YouTube je k také vidění obdobný tanec z Filipín, na němž mají tanečnice v každé ruce jednu skleničku na víno; najdete ho na adrese

Předváděné pohyby možná vypadají docela jednoduše, ale mají hluboké matematické spojitosti. Konkrétně například pomáhají částicovým fyzikům pochopit jednu ze speciálních kvantových vlastností elementárních částic, označovanou jako spin. „Spin“ v angličtině znamená otáčet se. Kvantové částice se ve skutečnosti neotáčejí jako třeba roztočený míč na prstu žongléra, ale mají spin – vlastnost popsanou číslem, která má v určitém smyslu podobný efekt. Spin může být kladný nebo záporný, jako je například orientace po směru nebo proti směru hodinových ručiček. Některé částice mají celočíselné spiny: ty se nazývají bosony (pamatujete na objev Higgsova bosonu?), jiné mají – což je poněkud zvláštní – poločíselné spiny, například 1/2 nebo 3/2. Ty se označují jako fermiony.
Poloviny se zde objevují jako důsledek velmi podivného jevu. Když vezmeme částici se spinem 1 (nebo jakýmkoli celým číslem) a otočíme ji v prostoru o 360°, dostane se do téhož stavu jako na začátku. Ale když provedeme rotaci částice o 360° se spinem 1/2, dostane se do téhož stavu se spinem –1/2. Chcete-li částici dostat do stavu se spinem jako na začátku, je nutné ji rotovat o 720°, tedy o celé dvě otáčky.
Z matematického hlediska zde máme „grupu transformací“ s názvem SU(2), která popisuje spin a chování při transformaci kvantových stavů, a jinou grupu SO(3), která popisuje rotace v prostoru. Ty spolu mají těsný vztah, ale nejsou totožné: každá rotace v grupě SO(3) odpovídá dvěma odlišným transformacím v grupě SU(2), přičemž jedna má oproti druhé znaménko minus. To se nazývá dvojí krytí. Dá se to popsat, jako kdyby se SU(2) ovíjela okolo SO (3), ale přitom se dvakrát obtočila. Jako když například dvakrát obtočíte plochou gumičku okolo násady smetáku.
Fyzici tuto myšlenku názorně předvádějí pomocí Diracova triku se stuhou (pojmenovaném po vynikajícím kvantovém fyzikovi Paulu Diracovi). Tento princip lze předvést v mnoha podobách; jednou z nejjednodušších je stuha, jež má jeden konec vlepený do pevného podstavce a druhý upevněný ke kotouči, který se vznáší ve vzduchu. Stuha má tvar jakéhosi otazníku v prostoru. Po otočení o 360° se stuha nevrátí do výchozí polohy, ale do polohy přetočené o 180°. Teprve po druhé úplné otáčce kotouče (do polohy 720°) přestane být stuha „překroucená“, ale dostane se do výchozího stavu. Pohyb stuhy v podstatě kopíruje pohyb paže s polévkovým talířem, i když talíř ve vzduchu obvykle opíše delší dráhu. Kosmonaut vznášející se v prostoru s nulovou gravitací by mohl provádět stejné pohyby s upevněným talířem, přičemž jeho tělo by celou dobu bylo natočené stejným směrem.

Souvislost mezi Diracovým trikem se stuhou a filipínským tancem se skleničkami na víno ilustruje počítačově vytvořený film Air on Dirac Strings autorů George Francise, Lou Kauffmana a Daniela Sandina (grafiku měli na starosti Chris Hartman a John Hart), který najdete na adrese http://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/dirac.html.
Stejnou myšlenku lze použít, když je potřeba připojit elektrický proud k otáčejícímu se zařízení, například ke kolu. Už na první pohled je zde očividná potíž: aby se stuha či páska nezamotala do hřídele, muselo by se kolo vznášet bez opory ve vzduchu. V roce 1975 však D. A. Adams navrhl a nechal si patentovat zařízení, které pomocí převodů umožňuje úplnou rotaci pásky okolo kola ze všech stran. Nemáme zde prostor na podrobnější popis, nicméně vše najdete ve sloupku C. L. Stonga „The amateur scientist“, Scientific American (prosinec 1975), s. 120–125.

 

Tento text je úryvkem z knihy
Ian Stewart: Kufřík matematických záhad profesora Stewarta
Argo a Dokořán 2019
O knize na stránkách vydavatele
obalka-knihy

Kyslíková atmosféra zachránila Zemi vodu

Zemi před sterilním osudem Marsu a Venuše uchránil sám život. Původním zdrojem kyslíku v atmosféře …

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close