Sluneční soustava, zdroj: IAU/NASA, Wikipedia, licence obrázku public domain
Sluneční soustava, zdroj: IAU/NASA, Wikipedia, licence obrázku public domain

Chaos bez atraktorů a disipativních systémů

Rušivý vliv třetí planety na vzájemné působení Slunce a druhé planety musí být dostatečně malý a za druhé nesmí být oběžné časy obou planet v jednoduchém poměru k sobě.

Konec 19. století
Slavná pařížská akademie nauk vře bouřlivou diskusí. Právě totiž skončila přednáška pana Henri Poincarého, slovutného matematika, fyzika a filosofa „O problému tří těles“. Laikům v oboru, jako je mechanika nebeských těles, by se mohlo zdát podivným, proč přednáška s tak suchopárným obsahem, jako je určení pohybu tří těles na základě jejich vzájemného gravitačního působení, vyvolala tak bouřlivou diskusi. Mnoho povyku pro nic, pomyslil by si. Avšak nešlo o otázku pouze čistě akademickou. Od dob Isaaca Newtona se vědělo, že například k určení dráhy Měsíce kolem Země stačí znát hmotnosti obou planet a na základě Newtonových zákonů lze vše ostatní spočítat. Stačí k tomu vyřešit pohybové rovnice. Zároveň se však také vědělo, že výpočet, který bral v úvahu pouze vzájemné působení Země a Měsíce, je pouze přibližný a že by bylo potřeba počítat ještě s vlivem Slunce, abychom dostali dráhu Měsíce úplně přesně. Má to však jeden háček – Newtonovy rovnice pro tři tělesa se nedají řešit přímo, ale musí se postupovat metodou postupných korekcí. K výsledku se sice přibližujeme každým krokem, ale dosáhneme ho až v nekonečnu. Tak vzniká otázka, kterou si pan Poincaré položil. Jaká je chyba, když ukončíme výpočet po několika krocích? Jak moc ovlivní výsledek nekonečná suma stále menších korekcí, kterou jsme nevzali v úvahu?
A právě tady vybuchla bomba! Poincaré zjistil, že existují dráhy, které reagují citlivě na sebemenší vliv třetího tělesa. Posluchačům začíná teprve teď docházet, že důsledkem této vlastnosti může být nestabilita Sluneční soustavy! „Uvažte tu absurdnost, pane kolego,“ ozývá se chaos není zmatek mezi akademiky, „stačí, aby nějaký asteroid nepatrně narušil rovnováhu sil mezi planetami a naše Země se může vydat na cestu vesmírem. To je přece absurdní, víme, že dráhy planet jsou stabilní přinejmenším od dob pozorování starých Egypťanů.“ „Ale co to je pár tisícovek let proti věčnosti vesmíru,“ namítá vzrušeně kolega. Diskuse postupně slábne, jak učenci odcházejí v malých skupinkách domů či do přilehlých kaváren.

O padesát let později
Několik týdnů po zasedání matematické sekce Akademie věd Sovětského svazu, na kterém oznámila trojice matematiků Kolmogorov, Arnold a Moser, že byl učiněn podstatný pokrok při řešení otázky stability Sluneční soustavy, se sešla malá skupinka vědců a techniků, aby prodiskutovala dosah tohoto sdělení.
„Soudruhu akademiku, zopakujte nám ve stručnosti závěry plynoucí z vaší práce,“ vyzval Andreje Kolmogorova autoritativně vyhlížející muž v čele stolu. „Jedná se o dvě podmínky stability Sluneční soustavy, soudruhu tajemníku,“ odvětil oslovený. „Za prvé, rušivý vliv třetí planety na vzájemné působení Slunce a druhé planety musí být dostatečně malý a za druhé nesmí být oběžné časy obou planet v jednoduchém poměru k sobě – třeba 1:2, 1:3, 2:3… a tak.“ „A co se stane, Andreji Nikolajeviči, když budou v jednoduchém poměru,“ otázal se lehce prošedivělý inženýr na druhém konci stolu. „Potom, Sergeji Pavloviči, se rušivý vliv třetího tělesa bude při každém oběhu zesilovat, dráha planety začne být postupně chaotickou, až nakonec planeta vyrazí úplně ze své dráhy do volného vesmíru.“ Muž se zamyslel, jako by už další debatu nevnímal. Po chvilce
skočil matematikům nedočkavě do řeči. „A nešlo by využít tohoto gravitačního efektu k sestrojení kosmické lodi?
Řekněme, že bychom nějaký asteroid přivedli řízeným výbuchem na nestabilní dráhu a potom dalším malým impulsem namířili na cíl. Asteroid bude sloužit jako gigantická loď, zbýval by však vyřešit problém s návratem. Nebude to sice snadné, soudruzi, ale v zásadě to půjde.“

O tři sta let později
„Vyčerpávání zdrojů v naší Sluneční soustavě nás nutí hledat radikální řešení,“ naléhavě zní hlas řečníka na jednání Valné hromady Sjednocených národů. „Logistické problémy s přesidlováním velkých mas lidí k jiným planetárním soustavám nás dovedly k tomu, abychom zcela změnili způsob uvažování. A tak přišel velký nápad!“
„A co je to za nápad?“ přerušovaly řečníka netrpělivé hlasy z pléna. Muž se usmál a vychutnávaje chvilku triumfu, pravil: „Když nemůže Mohamed k hoře, musí hora k Mohamedovi.
Přemístí se celé lidstvo a planetární lodí bude sama Země, kterou uvedeme na nestabilní dráhu a poté odešleme do kosmu. Příroda i lidé budou zachováni pro další život v cílové soustavě takto…“ Hlas zvolna plynul a lidé jako by se rozpomínali na časy, kdy jejich rod byl ještě mladý a synové božští vcházeli k jejich dcerám a ty jim rodily.

***

Poincarého objev možnosti nestability pohybu planet ve své době nevyvolal zdaleka takový rozruch, jaký by mu příslušel. A přece se jednalo o přelom ve vědě. Poincaré poprvé ukázal, že nelinearita znamená novou kvalitu a v některých případech nemůže být popsána lineárními modely ani jako hrubé přiblížení. Praktické důsledky takového objevu jsou nedozírné, jeden jsme uvedli – možnost, že se naše stará, dobře známá Sluneční soustava vlivem nepatrné poruchy zhroutí do chaosu.
Trvalo skutečně přes půl století, než byly výsledky francouzského matematika pochopeny a vysvětleny. V šedesátých letech dvacátého století publikovala trojice matematiků Kolmogorov, Arnold a Moser nové výsledky týkající se stability nelineárních systémů. To nejpodstatnější bylo shrnuto v jedné matematické větě – teorému, nazvaném na počest tvůrců teorém KAM. Prvním požadavkem na stabilitu dvou planet je podle KAM nesmírně malý vliv třetího tělesa. Pro názornost se uvádí, že tento vliv nesmí být větší, než je gravitační přitažlivost, jíž na nás působí moucha na druhém konci zeměkoule.
Druhý požadavek pak stanoví, že planety zůstanou stabilní i při větším působení třetího tělesa v případě, že oběžné časy nejsou navzájem v jednoduchém poměru. Zajímavým potvrzením této teorie jsou objevy mezer v pásu asteroidů nacházejícím se mezi Marsem a Jupiterem, a to v místech, která odpovídají jednoduchým poměrům času oběhu asteroidu a Jupitera kolem Slunce. V tomto uspořádání je rušivým tělesem Jupiter a mezery zřejmě odpovídají asteroidům, které se původně nacházely na nestabilních drahách a byly katapultovány do vesmíru.
Závěrem je třeba zdůraznit fakt: Poincarého objev stejně
jako teorém KAM jsou důsledkem překvapivého faktu, že chaotické chování se neomezuje pouze na disipativní systémy (rozptylující energii do okolí formou tepelných ztrát), ale že nastává i v případě systémů konzervativních, zachovávajících mechanickou energii. Klasickým příkladem takových systémů je Sluneční soustava. Navzdory tomu, že u konzervativních systémů neexistují žádné atraktory, můžeme ve fázovém prostoru nalézt „chaotické“ oblasti.

Tento text je úryvkem z knihy
Miroslav Punčochář: Nedaleko nekonečna
Academia 2016
O knize na stránkách vydavatele
obalka-knihy

vlk, autor: retron, zdroj: wikipedia, upraveno. licence obrázku: public domain

Knihy o vlcích: Arktický vlk

S tím, jak vlci dnes běhají málem v satelitech velkoměst, se z kuriózního tématu, strachu …

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close