Sciencemag.cz
Doporučujeme
Navier-Stokesovy rovnice, tedy soustava parciálních diferenciálních rovnic, popisují proudění kapalin. Figurují zde veličiny jako tlak, zrychlení, rychlost, viskozita, hustota… Clayův matematický ústav zařadil v roce 2000 hádanku spojenou s těmito rovnicemi mezi sedm největších matematických „úloh pro třetí tisíciletí“, z nichž každá je oceněna na milion dolarů (jeden z problémů, Poincarého domněnka, byl již mezitím vyřešen). Otázka stojí tak, zda rovnice mají ve 3D vždy hladké řešení.
Jinak řečeno, jde o to, nakolik realisticky rovnice popisují „skutečnou fyziku“ a nakolik jde spíše o užitečnou pomůcku, jejíž využití má ale svá omezení. Absence hladkosti by znamenala, že rovnice by v takovém bodě (singularitě) selhávaly, vznikaly by zde fyzikálně nerealistické scénáře, např. ostré zlomy nebo hodnoty ustřelující k nekonečným hodnotám.
Thomas Hou z Caltechu a Jiajie Chen z New York University nyní v článku publikovaném na preprintovém serveru Arxiv tvrdí, že vyřešili související problém, tedy existenci singularit ve 3D Eulerových rovnicích. Eulerovy rovnice pro tok kapalin jsou zjednodušenou verzí Navier-Stokesových (poznámka PH: snad se to tak dá říct bez újmy na přesnosti), protože neuvažují viskozitu. Nedávají tedy tak přesné (realitě odpovídající) výsledky, ale zase se dají snáze řešit (Navier-Stokesovy rovnice se obvykle počítají numericky).
Hou a jeho bývalý postdoktorand Guo Luo navrhli již v roce 2014 důkaz existence singularity v Eulerových rovnicích. Nyní Hou a Chen měli původní myšlenky dopracovat do podoby definitivního důkazu. Eulerovy 3D rovnice tedy v určitých bodech „stavového prostoru“ selhávají. Tento výsledek má vztah i k Navier-Stokesovým rovnicím. Jejich „problematičnost“ to sice nedokazuje, ale naznačuje cestu, jak by šlo příslušnou singularitu (z hlediska fyziky „chybu“) v těchto rovnicích hledat na základě analogie. Hou uvádí, že celý postup je slibný a věří, že existenci singularit v Navier Stokesových rovnicích dokáže rovněž.
Jiajie Chen et al, Stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth data, arXiv (2022). DOI: 10.48550/arxiv.2210.07191
Zdroj: California Institute of Technology / Phys.org a další
Poznámka PH: Hladkost není totéž co spojitost (ani jedno není podmnožinou druhého). Nicméně, při laickém pohledu, proč by nám mělo vadit, pokud by funkce nebyla v nějakém bodě hladká (dejme tomu by odpovídalo nějaké fázové změně mezi různými typy proudění apod.)? Nespojitost nebo ustřelení hodnot do nekonečna je samozřejmě něco jiného…
Pokud vím, tak tento problém je čistě matematický, a i kdyby se našly okrajové podmínky, které vedou k singularitám v řešení Navier-Stokesových rovnic, tak to vůbec neznamená, že by tyto rovnice nepopisovaly správně fyziku.
V daném případě řešili tyto rovnice pro kapalinu umístěnou ve válci, jehož dvě poloviny rotují proti sobě. A právě v místě, kde se mění směr rotace pláště válce, vedou (možná) Navier-Stokesovy rovnice k singulárním řešením. Jenže problém je, že takovýto systém nikdy nemůžete realizovat. Vždy budou ty poloviny oddělené aspoň atomovou vrstvou od sebe a tedy nikdy nebude změna směru rotace skoková. Takže z těchto matematických hrátek (jakkoliv poskytují cenné informace o chování hydrodynamických systému) nelze nijak odvozovat, že Navier-Stokesovy rovnice nepopisují správně fyzikální systémy.
s godelovskou neuplnosti/nerozhodnosti toto nema spolecneho vlastne nic. v matematice zde zadny spor neni, jde jen o to, ze pokud rovnice nekde daji treba nekonecnou hodnotu (a prislusny „bod“ je fyzikalne realisticky), tak pak rovnice proste tento kousek nepopisuji zpusobem odpovidajicim fyzikalni realite. asi jako „selhava“ rovnice y=1/x v bode 0.
> tak pak rovnice proste tento kousek nepopisuji
Rád bych zdůraznil, že toto ve fyzice není nic výjimečného. Třeba u elektromagnetického zákona je ta přesnost 98% procent, u optiky 30% (hodnoty odposlechnuty a zapamatovány od autorit).
v teto souvislosti je ta hladkost dana jen spojitosti druhe derivace.
btw, to je ekvivalentni existenci prvni derivace v kazdem bode? (pardon, uz dlouho od prislusne zkousky)
K tomu bych dodal zamyšlení, že E. rovnici hydrodynamiky bych za podobnou s rovnicí NS z pohledu fyzikální reality moc nepovažoval. ERH vychází ze silové rovnováhy proudění, NS z energetické rovnováhy. Ale samozřejmě by měly dávat stejné výsledky stejných problémů. ERH sice nezahrnují explicitně viskozitu, ale změny, které způsobuje ano.