Pixabay License. Volné pro komerční použití.

Hladkost Navier-Stokesových rovnic byla zpochybněna

Navier-Stokesovy rovnice, tedy soustava parciálních diferenciálních rovnic, popisují proudění kapalin. Figurují zde veličiny jako tlak, zrychlení, rychlost, viskozita, hustota… Clayův matematický ústav zařadil v roce 2000 hádanku spojenou s těmito rovnicemi mezi sedm největších matematických „úloh pro třetí tisíciletí“, z nichž každá je oceněna na milion dolarů (jeden z problémů, Poincarého domněnka, byl již mezitím vyřešen). Otázka stojí tak, zda rovnice mají ve 3D vždy hladké řešení.
Jinak řečeno, jde o to, nakolik realisticky rovnice popisují „skutečnou fyziku“ a nakolik jde spíše o užitečnou pomůcku, jejíž využití má ale svá omezení. Absence hladkosti by znamenala, že rovnice by v takovém bodě (singularitě) selhávaly, vznikaly by zde fyzikálně nerealistické scénáře, např. ostré zlomy nebo hodnoty ustřelující k nekonečným hodnotám.
Thomas Hou z Caltechu a Jiajie Chen z New York University nyní v článku publikovaném na preprintovém serveru Arxiv tvrdí, že vyřešili související problém, tedy existenci singularit ve 3D Eulerových rovnicích. Eulerovy rovnice pro tok kapalin jsou zjednodušenou verzí Navier-Stokesových (poznámka PH: snad se to tak dá říct bez újmy na přesnosti), protože neuvažují viskozitu. Nedávají tedy tak přesné (realitě odpovídající) výsledky, ale zase se dají snáze řešit (Navier-Stokesovy rovnice se obvykle počítají numericky).
Hou a jeho bývalý postdoktorand Guo Luo navrhli již v roce 2014 důkaz existence singularity v Eulerových rovnicích. Nyní Hou a Chen měli původní myšlenky dopracovat do podoby definitivního důkazu. Eulerovy 3D rovnice tedy v určitých bodech „stavového prostoru“ selhávají. Tento výsledek má vztah i k Navier-Stokesovým rovnicím. Jejich „problematičnost“ to sice nedokazuje, ale naznačuje cestu, jak by šlo příslušnou singularitu (z hlediska fyziky „chybu“) v těchto rovnicích hledat na základě analogie. Hou uvádí, že celý postup je slibný a věří, že existenci singularit v Navier Stokesových rovnicích dokáže rovněž.

Jiajie Chen et al, Stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth data, arXiv (2022). DOI: 10.48550/arxiv.2210.07191
Zdroj: California Institute of Technology / Phys.org a další

Poznámka PH: Hladkost není totéž co spojitost (ani jedno není podmnožinou druhého). Nicméně, při laickém pohledu, proč by nám mělo vadit, pokud by funkce nebyla v nějakém bodě hladká (dejme tomu by odpovídalo nějaké fázové změně mezi různými typy proudění apod.)? Nespojitost nebo ustřelení hodnot do nekonečna je samozřejmě něco jiného…

Sonda Psyche opět posunula rekord v laserové komunikaci

Americký technologický demonstrátor DSOC (Deep Space Optical Communications) opět posunul rekord laserové komunikace. Dokázal totiž …

6 comments

  1. Pokud vím, tak tento problém je čistě matematický, a i kdyby se našly okrajové podmínky, které vedou k singularitám v řešení Navier-Stokesových rovnic, tak to vůbec neznamená, že by tyto rovnice nepopisovaly správně fyziku.

    V daném případě řešili tyto rovnice pro kapalinu umístěnou ve válci, jehož dvě poloviny rotují proti sobě. A právě v místě, kde se mění směr rotace pláště válce, vedou (možná) Navier-Stokesovy rovnice k singulárním řešením. Jenže problém je, že takovýto systém nikdy nemůžete realizovat. Vždy budou ty poloviny oddělené aspoň atomovou vrstvou od sebe a tedy nikdy nebude změna směru rotace skoková. Takže z těchto matematických hrátek (jakkoliv poskytují cenné informace o chování hydrodynamických systému) nelze nijak odvozovat, že Navier-Stokesovy rovnice nepopisují správně fyzikální systémy.

  2. s godelovskou neuplnosti/nerozhodnosti toto nema spolecneho vlastne nic. v matematice zde zadny spor neni, jde jen o to, ze pokud rovnice nekde daji treba nekonecnou hodnotu (a prislusny „bod“ je fyzikalne realisticky), tak pak rovnice proste tento kousek nepopisuji zpusobem odpovidajicim fyzikalni realite. asi jako „selhava“ rovnice y=1/x v bode 0.

  3. > tak pak rovnice proste tento kousek nepopisuji
    Rád bych zdůraznil, že toto ve fyzice není nic výjimečného. Třeba u elektromagnetického zákona je ta přesnost 98% procent, u optiky 30% (hodnoty odposlechnuty a zapamatovány od autorit).

  4. v teto souvislosti je ta hladkost dana jen spojitosti druhe derivace.

  5. btw, to je ekvivalentni existenci prvni derivace v kazdem bode? (pardon, uz dlouho od prislusne zkousky)

  6. K tomu bych dodal zamyšlení, že E. rovnici hydrodynamiky bych za podobnou s rovnicí NS z pohledu fyzikální reality moc nepovažoval. ERH vychází ze silové rovnováhy proudění, NS z energetické rovnováhy. Ale samozřejmě by měly dávat stejné výsledky stejných problémů. ERH sice nezahrnují explicitně viskozitu, ale změny, které způsobuje ano.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *