Sciencemag.cz
Related Articles
Výzkumy na poli logiky a matematiky každopádně napomohly hlubšímu porozumění ideji nekonečna. Nadále přitom poukazovaly na rysy a nuance, které se příliš nelišily od těch, jimiž se vyznačovaly představy o nekonečnu v dobách o mnoho starších.
Teorie typů, kterou v logice poprvé zavádí Bertrand Russell, měla napravit neduhy plynoucí z naivního pojmu „množiny“ a odstranit paradoxy s ním spojené. Tyto paradoxy se připisovaly na vrub bludnému kruhu, jejž zahrnovaly jisté zvláštní nekonečné třídy objektů. Tak bylo nutné pokládat některé z nich za logicky „nemožné“ prostě proto, že jejich vlastní definice předpokládala, že se jedná o již definované entity.
Logická konstrukce Principia mathematica do jisté míry omezila schopnost libovolného seskupení prvků tvořit celek, o němž by bylo možné hovořit na základě slepé víry v jeho existenci. Quine správně poznamenal, že hlavním účelem Principií bylo omezit univerzum tříd tak, aby byla zajištěna jeho logická bezrozpornost. Toho bylo docíleno za pomoci hierarchie logických typů, jež měla zamezovat seskupení příliš rozsáhlých souborů objektů současně. Whitehead a Russell tak například objevili, že není možné uvažovat celek zahrnující zároveň skupinu individuí spolu s jejich atributy a relacemi a dále atributy a relace nad těmito atributy a relacemi a tak dále do neomezena. Toto „neomezeno“ je nutno rozvrstvit podle řádu rostoucí složitosti tak, aby se univerzum uspořádalo do postupných tříd logických významů probíhajících přes dobře definovanou hierarchii.
Mezi „neexistujícími“ třídami se nachází pouze jedna, která se týká přímo principu nerozlišitelnosti a skutečnosti, že není možné náležitě vykázat všechny souvztahy, které pojí individuum s věcmi okolního světa. Pojem jako „všechny vlastnosti objektu a“ ve smyslu „všechny výrokové funkce splňované argumentem a“ je zcela nelegitimní a musí sám být hierarchicky uspořádán v podobě po sobě následujících tříd atributů. Výsadní postavení mezi těmito třídami pak zaujímají tzv. „predikáty“ vyjadřující, řeklo by se, soubor vlastností, které z hlediska hierarchického řádu typů stojí individuu „nejblíže“. Predikáty pochopitelně nevyčerpávají veškeré vlastnosti objektů. Kdyby někdo chtěl založit princip nerozlišitelnosti přímo na všech vlastnostech dvou objektů x a y, aby dospěl k závěru, že pouze jejich úplná shoda umožňuje odvodit identitu x = y, dostal by se do nepřekonatelných obtíží.
Pojem totožnosti přirozeně vyžaduje nekompromisní totalitu. Obecně totiž máme sklon si myslet, že x a y jsou totožné jen tehdy, když se mezi sebou rovnají bez výjimky všechny relace x a y vůči okolnímu vesmíru. Avšak Russell dokázal, že v tomto úplném smyslu identita logicky neexistuje a není definovatelná. V užším smyslu je nicméně možné Leibnizovu ideu náležitě přeformulovat s pomocí tzv. axiomu redukovatelnosti, který – jak lze technicky dále upřesnit – převádí libovolnou propoziční funkci do výchozího tvaru funkce predikativní. Díky této úpravě můžeme pojem identity postihnout v následujícím znění: x a y jsou totožné právě tehdy, když x a y mají stejné predikáty.
Omezení nestvůrně bezmezného univerza tříd však nebylo jediným důsledkem, který plynul z objevu paradoxů a nedůvěry panující vůči bezmeznu. Mezi základní a nutné prvky logiky nebyla připuštěna ani sama idea třídy v té podobě, kdy byla s to v jediném okamžiku sjednotit nekonečně mnoho objektů, aniž by musely projít výčtem, který se odehrává v čase. „Symboly pro třídy tak jako symboly pro deskripce,“ píší Whitehead s Russellem, „jsou v našem systému neúplnými symboly: definují se na základě svého použití, přičemž se předpokládá, že samy o sobě nemají žádný význam […]. A proto třídy v tom smyslu, jak je zavádíme, představují čisté symboly či jazykové konvence, a nikoli skutečné objekty, jakými jsou jejich složky v případě, že se jedná o individua.“
Výmluvnou okolností, která tuto myšlenku podporuje, je v Principiích navržená možnost znázornit třídu jako „substrát všech ekvivalentních tvrzení, jež se týkají nejrůznějších formálně ekvivalentních funkcí“. Třída se tak podobá věci, jejíž existenci není nutné přepokládat, přitom je ale jistým způsobem určena na základě všech propozičních funkcí, které jsou splněny pro tytéž argumenty, a které ji proto označují. Jedná se o jednu z těch hypostazí, které naše představivost, ať chce, nebo nechce, musí zavést a přijmout.
Drastická redukce, k níž na poli přípustných jazykových formulí přistoupila Principia mathematica, se ovšem nesetkala s všeobecným a trvalým uznáním. Není pochyb o tom, že nové vědecké paradigma si ve své době vyžádalo zásadní přehodnocení ontologických implikací řeči, přičemž Russellova teorie deskripcí znamenala první významný krok k nápravě pseudoproblémů panujících kolem existence. Odstranění tříd se nicméně nedotklo podstaty problému. Russell byl nucen jeho dopady zmírnit tím, že se uchýlil k jiným univerzálním entitám, totiž propozičním funkcím a atributům, čímž si vysloužil kritiku ze strany Quinea, jenž podobný druh redukce považoval v podstatě za zbytečný. S rozpaky pohlížel Quine i na samo rozvrstvení typů. Pokládal je v jistých směrech za nepřirozené a viděl v něm zdroj zjevně nežádoucích důsledků.
V pozdějších axiomatikách, jež budovali Zermelo, von Neumann, Gödel a Bernays, vystupuje nedůvěra k pojmu třídy v zastřenější podobě. Zermelův systém uznává existenci určitého druhu množin, přestože „konstruktivistický“ přístup na pozadí jeho teorie vykazuje rovněž jistá arbitrární omezení, která v zájmu vnitřní bezrozpornosti eliminují i množiny zcela legitimní a neškodné. Von Neumann se snažil rozptýlit podezření, že by zdrojem logických rozporů byl pojem třídy sám o sobě. Ty podle něj vycházely spíše z toho, že se k třídám přistupovalo jako k prvkům jiných tříd. Zatímco některé Zermelovy axiomy se v rámci konstruovatelnosti množin na základě řádně formulovaných predikátů uplatňovaly uvnitř souboru prvků, jejichž legitimita již byla ustavena, von Neumann vrací do hry některé zvláště „nebezpečné“ třídy definovatelné nikoli jako podmnožiny něčeho dalšího, nýbrž takříkajíc přímo na základě predikátů, které lze rozšířit na celé univerzum.
To je případ univerzální třídy, jež stála v pozadí některých hlavních antinomií a která odpovídá predikátu „x = x“. O její konečné a definitivní povaze měl podle von Neumannových představ svědčit zákaz být prvkem jakéhokoli jiného souboru objektů.
Von Neumannův přístup sdíleli také Kurt Gödel a Paul Bernays. V Gödel-Bernaysově axiomatickém systému se rozlišuje mezi množinou a třídou tím, že množině je dovoleno být prvkem třídy, kdežto třída nemůže být prvkem ničeho. Bernays existenci tříd vyslovuje nejexplicitněji v metamatematické větě dokazatelné na základě prvních axiomů extenzionality a elementární konstruovatelnosti množin a tříd. Tato věta upravuje možnost definovat seskupení objektů za pomoci predikátů nejobecnějšího typu, čímž ustavuje přesnou korespondenci mezi třídami a predikáty. V knize Algebra založili Saunders Mac Lane a Garrett Birkhoff na Bernaysově axiomatice algebraickou teorii kategorií zahrnující třídy objektů, které se vyznačují vysokým stupněm abstrakce a extenze.
Tato možnost – totiž neomezeně, k libovolnému stupni obecnosti rozšiřovat a prohlubovat oblast působnosti matematiky a zároveň algebraický diskurz držet uvnitř náležitě vymezených hranic v bezpečí před antinomiemi – je dobře patrná na pojmu Univerza (nebo také nedostupného Univerza). Logické potíže, které mohou vyvstat v souvislosti s tvorbou nových kategorií na základě daných výchozích množin, můžeme zažehnat tím, že pro každý nastávající případ nadefinujeme „schránkovou“ množinu, kterou operace odvozené z Bernaysových axiomů nedovolují „opustit“. Tak by se dalo uvažovat o novém způsobu přibližování se k absolutnu. Zde by každý krok vykazoval znaky onoho aktuálního nekonečna, jež Cantor spatřoval v jiných matematických entitách, ale zároveň by se odehrával na půdě nekonečna čistě potenciálního.
Následné výzkumy pojmu třídy či seskupení, které přicházely v první půli 20. století, opakovaně poukazovaly na to, že zdroj nekonzistencí je třeba hledat spíše na poli sémantiky, a že je tudíž zapotřebí pečlivě přezkoumat užívání jazyka. Příkladnými v tomto směru byly objevy Leopolda Löwenheima a Alberta moralfa Skolema. Löwenheim roku 1915 dokázal, že pokud má konečná množina (řádně utvořených) formulí predikátového počtu prvního řádu nekonečný model, pak má vždy nejvýše spočetný model. Skolem tuto větu roku 1920 rozšířil i na (spočetně) nekonečné množiny formulí, důkaz následně zbavil zátěže spojené s axiomem výběru a vynesl na světlo vnitřní souvislost těchto teorémů s Gödelovými větami o úplnosti predikátového počtu prvního řádu. To, stručně řečeno, znamenalo, že interpretovatelnost nějakého systému axiomů, například von Neumannova či Zermelo-Fraenkelova, lze omezit vždy jen na spočetný obor objektů, které je splňují. Potíže však nastaly, jakmile do úvahy vstoupila Cantorova věta o nespočetnosti potenční množiny přirozených čísel (tj. množiny všech podmnožin těchto čísel). V rámci axiomatického systému byla tato věta plně dokazatelná, ale zároveň se zjevně vztahovala k množinám, jejichž prvky nebylo možné nijak spočítat v tom smyslu, že by se daly vzájemně jednoznačně přiřadit k posloupnosti 1, 2, 3, … přirozených čísel.
Jak takové množiny mohly zapadat do ryze spočetného modelu tohoto systému? Tento paradox, známý také jako Skolemův paradox, mohl opět vzbuzovat nedůvěru vůči nekonečnu, zvláště pak, když překračovalo hranice prosté spočetnosti. Skolemův výklad, který následně převzal i Bernways, vedl k závěru, že „ve skutečnosti je vše spočetné a případné rozdíly v mohutnosti se vyskytují takříkajíc pouze zdánlivě a ve vztahu ke konceptuálnímu rámci.“ V duchu Skolemova řešení tak bylo zapotřebí Cantorův teorém pokládat za větu o neexistenci určité zvláštní množiny, a sice množiny, jež „představuje“ vzájemně jednoznačné přiřazení (právě to neexistuje) mezi množinou přirozených čísel a její potenční množinou a která je utvořena uspořádanými dvojicemi prvků náležejících první a druhé množině. Tato neexistence nicméně nebyla absolutní. Omezovala se na obor možných modelů teorie množin, které bylo možno odvodit z bezrozporné sady axiomů. Mimo tuto teorii, tj. v metajazyce, byla spočetnost kontinua stále myslitelná. Závěr tedy zněl, že množina mohla existovat nebo neexistovat v závislosti na perspektivě jazyka, ve kterém se o dané množině uvažovalo.
úryvek z knihy
Paolo Zellini: Stručné dějiny nekonečna
Academia 2026
O knize na webu vydavatele
