(c) Graphicsstock

Problém tří trojmocí: našli nové řešení pro 3. Tipují, že jich je nekonečně

Lze všechna čísla mezi 1 a 100 vyjádřit jako součet tří trojmocí, tedy jako řešení diofantické rovnice k = x3 + y3 + z3? V roce 2019 se na tuto otázku podařilo odpovědět kladně. Největší problémy působilo číslo 42 (ano, zmínit v této souvislosti Stopařova průvodce se přímo nabízí), i zde se ale řešení nakonec podařilo najít.
Viz také: Problém 3 trojmocí vyřešen, nejdéle vzdorovalo číslo 42

Úspěch slavilo se zrovna elegantní prosévání prostoru čísel. Vyžadovalo značnou hrubou výpočetní sílu, a to navíc s mnoha sofistikovanými optimalizacemi (zcela náhodné procházení čísel je z hlediska dostupného výpočetního výkonu úplně mimo).
Autoři řešení problému pro číslo 42 Drew Sutherland (MIT) a Andy Booker (University of Bristol) se ovšem s výsledkem nespokojili a nyní našli další řešení pro číslo 3. Bylo to ještě obtížnější, ale jejich výsledek naznačuje snad i obecnější závěr.
Pro číslo 3 se snadno dají najít řešení 1, 1, 1 a 4, 4, -5. V roce 1953 byla pak přímo jako speciální problém zformulována otázka, zda existuje ještě nějaké další řešení. Dlouho ho nikdo nedokázal nalézt, až mnozí matematici začali věřit, že odpověď je záporná.
Sutherland a Booker ale nyní pomocí stejné metody, s níž uspěli u čísla 42, další řešení našli:

5699368212219623807203 + (-569936821113563493509)3 + (-472715493453327032)3 = 3

Autoři na základě výsledku odhadují, že řešení tří trojmocí existuje nekonečně mnoho (zřejmě míněno pro všechna čísla mezi 1 a 100). Nicméně jsou zřejmě rozmístěna tak řídce, že další trojici pro čísla 3 možná nikdy nenajdeme (nebo nenajdeme za našich životů apod.). To samozřejmě nevylučuje, že by někdo mohl přijít s obecným řešením problému (pro začátek dokázat existenci konečného nebo nekonečného počtu 3 trojmocí alespoň pro konkrétní číslo apod.). Domněnku, že problém tří trojmocí má nekonečně mnoho řešení, zformuloval jako už první Roger Heath-Brown. Sutherland a Booker souhlasí, i podle jejich názoru by měl prostor mezi řešeními exponenciálně růst z hlediska náročnosti vyhledávání. Z různých odhadů vyplývá, že pokud 3. řešení pro číslo 3 obsahuje čísla o 21 cifrách, následující trojice by mohla mít 28 cifer (poznámka PH: nemohlo by mít jedno číslo málo cifer a další dvě strašně moc a blízko od sebe? A takové řešení bychom pak v prostoru možností považovali za bližší/menší, nebo jak? To je ovšem otázka laika, na kterou příslušní matematici odpověď téměř jistě znají.)
Jak se vlastně příslušná tři čísla hledají? Diofantická rovnice se nejprve převede na tvar

k – z3 = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2),

provede se nějaká substituce (x + y = d, dále se pracuje s modulo d atd.). To umožní hledat ne v prostoru trojic čísel, ale jen dvojic. Další algoritmy odvozené z pokročilé teorie čísel dokáží definovat oblasti, které můžeme hned zahodit/přeskakovat, protože v nich řešení nebude. Pak musíme problém efektivně paralelizovat, tj. zařídit, aby se dal spustit na více počítačích (v tomto případě se využívaly stovky tisíc počítačů poskytnutí dobrovolníky, nikoliv obří superpočítač). A tak dále, triviální to celé rozhodně není.
I přes tyto optimalizace ale stále najít řešení trvalo 2 týdny. Sutherland a Booker odhadují, najít každé nové řešení bude časově náročnější více než 10milionkrát.

Andrew R. Booker et al, On a question of Mordell, Proceedings of the National Academy of Sciences (2021). DOI: 10.1073/pnas.2022377118
Zdroj: Jennifer Chu, Massachusetts Institute of Technology / Phys.org

Měsíc, zdroj: NASA/Wikipedia, licence obrázku public domain

Pokrok ve vrtání na Měsíci

26. července 1971, tedy před padesáti lety se k Měsíci vypravila mise Apollo 15, kterou …

One comment

  1. Antonín paduánský

    Říkejme lidem pravdu a bude všem líp. Pravda sice trochu bolí ale jednoznačně uzdravuje.
    Celý svět je veden jedním duchem=českou myšlenkou.
    Ta je nezničitelná=věčná
    a ukrývá tajemství Hmoty.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

Používáme soubory cookies pro přizpůsobení obsahu webu a sledování návštěvnosti. Data o používání webu sdílíme s našimi partnery pro cílení reklamy a analýzu návštěvnosti. Více informací

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close